前段时间，小灰发布了红黑树相关的文章，分成上下篇来讲解。

这一次，小灰把两篇文章做了整合，并且修正了红黑树删除部分的图片错误，感谢大家的指正。

—————  第二天  —————

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二叉查找树（BST）具备什么特性呢？

1.左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。

2.右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。

3.左、右子树也分别为二叉排序树。

下图中这棵树，就是一颗典型的二叉查找树：

1.查看根结点9：

2.根据二叉查找树左子树小、右子树大的特性，10 > 9，因此值为10的结点只可能在根结点的右子树当中，我们查看右孩子结点13：

3.由于10 < 13，因此查看左孩子11：

4.由于10 < 11，因此查看左孩子10，发现10正是要查找的结点：

假设初始的二叉查找树只有三个结点，根结点值为9，左孩子值为8，右孩子值为12：

接下来我们依次插入如下五个结点：7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性，结果会变成什么样呢？

1.结点是红色或黑色。

2.根结点是黑色。

3.每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL结点）。

4 每个红色结点的两个子结点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点)

5.从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

下图中这棵树，就是一颗典型的红黑树：

什么情况下会破坏红黑树的规则，什么情况下不会破坏规则呢？我们举两个简单的例子：

1.向原红黑树插入值为14的新结点：

由于父结点15是黑色结点，因此这种情况并不会破坏红黑树的规则，无需做任何调整。

2.向原红黑树插入值为21的新结点：

由于父结点22是红色结点，因此这种情况打破了红黑树的规则4（每个红色结点的两个子结点都是黑色），必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则。

变色：

为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色结点变为黑色，或者把黑色结点变为红色。

下图所表示的是红黑树的一部分（子树），新插入的结点Y是红色结点，它的父亲结点X也是红色的，不符合规则4，因此我们可以把结点X从红色变成黑色：

但是，仅仅把一个结点变色，会导致相关路径凭空多出一个黑色结点，这样就打破了规则5。因此，我们需要对其他结点做进一步的调整，后文会详细说明。

左旋转：

逆时针旋转红黑树的两个结点，使得父结点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异，大家看下图：

图中，身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转：

顺时针旋转红黑树的两个结点，使得父结点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。大家看下图：

图中，身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

局面1：新结点（A）位于树根，没有父结点。

(空心三角形代表结点下面的子树)

这种局面，直接让新结点变色为黑色，规则2得到满足。同时，黑色的根结点使得每条路径上的黑色结点数目都增加了1，所以并没有打破规则5。

局面2：新结点（B）的父结点是黑色。

这种局面，新插入的红色结点B并没有打破红黑树的规则，所以不需要做任何调整。

局面3：新结点（D）的父结点和叔叔结点都是红色。

这种局面，两个红色结点B和D连续，违反了规则4。因此我们先让结点B变为黑色：

这样一来，结点B所在路径凭空多了一个黑色结点，打破了规则5。因此我们让结点A变为红色：

这时候，结点A和C又成为了连续的红色结点，我们再让结点C变为黑色：

经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则。

局面4：新结点（D）的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右孩子，父结点（B）是祖父结点的左孩子。

我们以结点B为轴，做一次左旋转，使得新结点D成为父结点，原来的父结点B成为D的左孩子：

这样一来，进入了局面5。

局面5：新结点（D）的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的左孩子，父结点（B）是祖父结点的左孩子。

我们以结点A为轴，做一次右旋转，使得结点B成为祖父结点，结点A成为结点B的右孩子：

接下来，我们让结点B变为黑色，结点A变为红色：

经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则。

以上就是红黑树插入操作所涉及的5种局面。

或许有人会问，如果局面4和局面5当中的父结点B是祖父结点A的右孩子该怎么办呢？

很简单，如果局面4中的父结点B是右孩子，则成为了局面5的镜像，原本的右旋操作改为左旋；如果局面5中的父结点B是右孩子，则成为了局面4的镜像，原本的左旋操作改为右旋。

给定下面这颗红黑树，新插入的结点是21：

显然，新结点21和它的父结点22是连续的红色结点，违背了规则4，我们应该如何调整呢？

让我们回顾一下刚才讲的5种局面，当前的情况符合局面3：

“新结点的父结点和叔叔结点都是红色。”

于是我们经过三次变色，22变为黑色，25变为红色，27变为黑色：

经过上面的调整，以结点25为根的子树符合了红黑树规则，但结点25和结点17成为了连续的红色结点，违背规则4。

于是，我们把结点25看做一个新结点，正好符合局面5的镜像：

“新结点的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右孩子，父结点是祖父结点的右孩子”

于是我们以根结点13为轴进行左旋转，使得结点17成为了新的根结点：

接下来，让结点17变为黑色，结点13变为红色：

如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。

二叉查找树是如何进行删除操作的呢？可以分成三种情况。

情况1，待删除的结点没有子结点：

上图中，待删除的结点12是叶子结点，没有孩子，因此直接删除即可：

情况2，待删除的结点有一个孩子：

上图中，待删除的结点13只有左孩子，于是我们让左孩子结点11取代被删除的结点，结点11以下的结点关系无需变动：

情况3，待删除的结点有两个孩子：

上图中，待删除的结点5有两个孩子，这种情况比较复杂。此时，我们需要选择与待删除结点最接近的结点来取代它。

上面的例子中，结点3仅小于结点5，结点6仅大于结点5，两者都是合适的选择。但习惯上我们选择仅大于待删除结点的结点，也就是结点6来取代它。

于是我们复制结点6到原来结点5的位置：

被选中的结点6，仅大于结点5，因此一定没有左孩子。所以我们按照情况1或情况2的方式，删除多余的结点6:

红黑树的特性（规则）如下：

1.结点是红色或黑色。

2.根结点是黑色。

3.每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL结点）。

4.每个红色结点的两个子结点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点)

5.从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

下面我们通过一个例子，来看一看删除红黑树的结点会对规则产生怎样的影响：

上图的这颗红黑树，待删除的是黑色结点1，有一个右孩子。根据二叉查找树的删除流程，我们让右孩子结点6直接取代结点1：

显然，这颗新的二叉树打破了两个规则：

规则4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。

规则5. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

第一步：如果待删除结点有两个非空的孩子结点，转化成待删除结点只有一个孩子（或没有孩子）的情况。

上面例子是一颗红黑树的局部，标数字的三角形代表任意形态的子树，假设结点8是待删除结点。

根据上文讲解的二叉查找树删除流程，由于结点8有两个孩子，我们选择仅大于8的结点10复制到8的位置，结点颜色变成待删除结点的颜色：

接下来我们需要删除红色的结点10：

红色结点10能成为仅大于8的结点，必定没有左孩子结点，所以问题转换成了待删除结点只有一个右孩子（或没有孩子）的情况。接下来我们进入第二步。

第二步：根据待删除结点和其唯一子结点的颜色，分情况处理。

情况1，自身是红色，子结点是黑色：

这种情况最简单，按照二叉查找树的删除操作，删除结点1即可：

情况2，自身是黑色，子结点是红色：

这种情况也很简单，首先按照二叉查找树的删除操作，删除结点1：

此时，这条路径凭空减少了一个黑色结点，那么我们把结点2变成黑色即可：

情况3，自身是黑色，子结点也是黑色，或者子结点是空叶子结点：

这种情况最复杂，涉及到很多变化。首先我们还是按照二叉查找树的删除操作，删除结点1：

显然，这条路径上减少了一个黑色结点，而且结点2再怎么变色也解决不了。

这时候我们进入第三步，专门解决父子双黑的情况。

第三步：遇到双黑结点，在子结点顶替父结点之后，分成6种子情况处理。

子情况1，结点2是红黑树的根结点：

此时所有路径都减少了一个黑色结点，并未打破规则，不需要调整。

子情况2，结点2的父亲、兄弟、侄子结点都是黑色：

此时，我们直接把结点2的兄弟结点B改为红色：

这样一来，原本结点2所在的路径少了一个黑色结点，现在结点B所在的路径也少了一个黑色结点，两边“扯平”了。

可是，结点A以下的每一条路径都减少了一个黑色结点，与结点A之外的其他路径又造成了新的不平衡啊？

没关系，我们让结点A扮演原先结点2的角色，进行递归操作，重新判断各种情况。

子情况3，结点2的兄弟结点是红色：

首先以结点2的父结点A为轴，进行左旋：

然后结点A变成红色、结点B变成黑色：

这样的意义是什么呢？结点2所在的路径仍然少一个黑色结点呀？

别急，这样的变化有可能转换成子情况4、5、6中的任意一种，在子情况4、5、6当中会进一步解决。

子情况4，结点2的父结点是红色，兄弟和侄子结点是黑色：

这种情况，我们直接让结点2的父结点A变成黑色，兄弟结点B变成红色：

这样一来，结点2的路径补充了黑色结点，而结点B的路径并没有减少黑色结点，重新符合了红黑树的规则。

子情况5，结点2的父结点随意，兄弟结点B是黑色右孩子，左侄子结点是红色，右侄子结点是黑色：

这种情况下，首先以结点2的兄弟结点B为轴进行右旋：

接下来结点B变为红色，结点C变为黑色：

这样的变化转换成了子情况6。

子情况6，结点2的父结点随意，兄弟结点B是黑色右孩子，右侄子结点是红色：

首先以结点2的父结点A为轴左旋：

接下来让结点A和结点B的颜色交换，并且结点D变为黑色：

这样是否解决了问题呢？

经过结点2的路径由（随意+黑）变成了（随意+黑+黑），补充了一个黑色结点；

经过结点D的路径由（随意+黑+红）变成了（随意+黑），黑色结点并没有减少。

所以，这时候重新符合了红黑树的规则。

以上就是红黑树删除的全过程。

给定下面这颗红黑树，待删除的是结点17：

第一步，由于结点17有两个孩子，子树当中仅大于17的结点是25，所以把结点25复制到17位置，保持黑色：

接下来，我们需要删除原本的结点25：

这个情况正好对应于第二步的情况三，即待删除结点是黑色，子结点是空叶子结点。

于是我们删除框框中结点25，进入第三步：

此时，框框中的结点虽然是空叶子结点，但仍然可以用于判断局面，当前局面符合子情况5的镜像：

于是我们通过左旋和变色，把子树转换成情况6的镜像：

再经过右旋、变色，子树最终成为了下面的样子：

这样一来，整颗二叉树又重新符合了红黑树的规则。