刘未沫｜早期中国思维中的数理、图理与式图——以北大秦简《鲁久次问数于陈起》为中心
上海市社会科学界联合会主管主办
摘要：与西方因果思维相对，早期中国思维常被称为关联性思维，其特点常被认为是模糊的和前逻辑的。但实际上，早期中国最初一些核心要素的关联，有其自身逻辑和底层架构。近年来大量出土的数术文献，为我们指示出理解这种逻辑和架构的两个关键要素，即数与图像。过去认为早期中国与数有关的图像要么是为实际功用而创作的符号系统，要么是有寓意性的象征图像；但与此相反，它们（如三方三圆图、七衡六间图、十二律周期图）是关于实在的或自然的模型（如太阳回归周期的模型、音律回归周期的模型），背后有复杂的数理知识，只是被降维呈现在了二维图像上。在对事物的模型化和图像化过程中，将事物看作数学对象、寻找周期性并将其投射为图像，是其典型思维过程。民间占卜用的式图与基于数理知识的模型化图像有相同的思维，式图扩大了整个关联系统，对关联观念的固定化有重要作用。对于秦简《鲁久次问数于陈起》所指示出的任何早期中国思维特征的总结，都是放在与各种其他出土材料和相关传世文献，甚至是与其他文明的对比中进行的，因而绝非个例。
关键词：关联性思维；数；周期性；图像化；模型；式图
作者：刘未沫，中国社会科学院大学哲学院副教授（北京102488），中国社会科学院哲学研究所副编审（北京100732）。
本文载于《学术月刊》2022年第4期。
目次
导言：早期中国如何建立事物的关联
一、以《陈起》为中心：篇章结构及不同层次的“数”
二、以“岁”为旨归的历法生成论
三、岁历周期的图像化及其数理模型
四、以“度”为旨归的音律生成论
五、十二律理想的周期回归及其图像化
六、民间式图在要素关联和观念形成方面的作用
总结：早期中国借助数与图像建立事物关联
与西方的因果思维相对，中国古代思维常被称为“关联性思维”，这种思维经常被描述为一种关于自然、社会、政治等一系列因素交融的广义宇宙论，具有模糊和多义等特征。20世纪一些思想家给予了这种思维方式很高的评价。如李约瑟认为，这种古老、明智但全然不是欧洲特有的思维方式将贡献于未来科学；葛瑞汉认为，中国人这种看似混乱模糊、以客观经验为基础并能从中建立秩序的前逻辑思维模式，是西方因果思维、逻辑思维的补充；郝大维和安乐哲认为，这种边界得以模糊和变动的特点，使知识得以情境化，并具有审美性、诗性、体系松软而包容等优势。
但这里的起点——模糊性——是否可靠？中国思维是真的模糊，还只是因为对于现代思维来说较为陌生而显得模糊？在研究中，我逐渐发现，早期中国思维有自己自洽的逻辑，有自己的规律和架构（framework）；最初一些核心要素被联类和组合的基础，可以通过分析的方式被清晰描述。早期中国精英知识分子对形成这种思维方式起着决定性的作用，但由于他们并不在意对这种认知方式进行分析和刻画，因而当这种思维方式后来淡出历史后，便难以再寻其最初建立的方法和路径。所幸近几十年大量出土文献的发现，为我们恢复这条路径提供了可能：通过和传世文献比对，通过与不同出土地点文献的相互比对，我们可以接近早期中国人将不同种类事物进行联结的底层构架。这种构架是中国思维的特质，虽然它作为模型并不完美——所有理论模型都不完美——但它将展现给我们一种与西方主要借由因果关系建立的事物统一性不同的、在事物之间建立关联的思路。如今我们研究者也有能力和责任将这种思维方式清晰地展现出来。
在着手这项研究的过程中，有两个关键点凸显出来：一是数，二是图或图像。“数”在早期中国的不同材料中呈现出多义性：它不仅可以表示量，还可以表示性质；它不仅可以因为数值相同，而将不同类的事物连接起来，也可以因为意义相同，而将不同类的事物连接起来（类似于符号）；数与数之间可以通过加减乘除建立动态的生成关系。数本身的这种多义性及其能够在不同维度间转换的性质，使它成为携带信息的跨层级沟通者、不同类事物关联的中转站。第二个关键点是图，这里特指与数有关的图，包括数的生成规律向外投射的图，也特别指早期中国数术文献中的一类时空图像“式图”。按颜光禄“图载之意”的分类（图理、图识、图形），本文讨论的应当都算作“图理”之图。这类图既不是对外部实在的具象再现，也不是纯粹对思想的图解或示意，而更像是一种关于实在的或者关于自然的模型，类似于维特根斯坦所说的逻辑图像。这些图理与实在所共享的描绘形式，我们可称之为数或数理。图理与数理不可相互通约，而只能在图像中展示。本文涉及的三方三圆图、七衡六间图、十二律周期图就是这样的图理，它们或者是太阳回归周期的模型，或者是音律回归周期的模型。在早期中国，还有一种时间−空间相互统一的特殊图像（即式图），它在民间广泛而长期地流行，因而很有可能这种图像在频繁使用中反过来作用于大多数人的思想，形成了固定的联想习惯，这样关联思维或者象思维才逐渐成了早期中国人特殊的思维。
本文的目标是，论证这些以非文字形式展示出来的图理以及它们与实在所共享的数理，在早期中国思维的形成中扮演了底层构架的功用，以此拓展和推进对“象思维”何以成为中国思维之基本特质的理解。之所以要从这个数理与图理角度讨论早期中国思维特质，与我近年来的一些研究心得有关。我认为，中西方宇宙论（这里特别指早期中国和古希腊的）在开始建立时有非常相似的理论任务，并且其中都有重视数的传统，但最终走向了不同形态；其核心差异是底层架构不同，中国宇宙论的构架由图提供（或许我们可以称之为“图像本体论”，也就是经常说的“象思维”），而希腊宇宙论的架构则由形而上学提供。我在其他地方讨论过中希方以数为原则构建宇宙论的共性，这里则重点讨论早期中国思维在相关内容上的特性，致力于重构这种特性形成的过程。问题的先后始终是：什么是人类思维中普遍的东西？然后才是：什么是中国思维中特有的东西？这篇文章虽然以探讨特性为主，但也是放在文明互鉴的视野中才得以可能。
本文将以一篇讨论数作为万物根本的秦简牍《鲁久次问数于陈起》（下文简称《陈起》）为中心来解释这一过程，重点涉及早期中国思维中的两类数，即音律数和历法数，关键是解释它们如何通过生成论、周期性及图像化，而建立了相互之间牢固的内在关联。这两类数之所以特别值得关注，首先在于音律与历法都有自然基础，音律是从自然中发现的声音和谐比例，历法是对天体运行和回归周期的把握和计算，因而音律数和历法数的生成规律及其周期性的“发现”就兼具自然与人为的双重来源，它们的图像化是一种关于实在的数图模型（或逻辑图像），因而它们的关联也都是建立在关于实在的逻辑图像上的关联，这就区别于不同类事物间单纯借助数值来沟通的等值关联，或者单纯借助象征来人为创建的符号关联。其次，如果我们知道早期中国与古希腊在几乎相同时期独立发现了这两类数的规律（包括音律比例、音律生成法则、行星的运行周期等），那我们就能敏感地意识到早期中国这两类数最重要的特征：与历法生成论相关的数以“岁”为旨归，而与音律生成论相关的数以“度”为旨归；前者是中国古代最重要的时间单位，后者则是其最重要的计量单位。简言之，从文明互鉴的视角看，音律数、历法数各自的生成论最能体现中国文明的特质；而从中国内部不同层级的数的角度看，音律数−图、历法数−图的关系又最称得上一种超越主体与客体、通过图像来汇聚的思维与实在之间的互动。在思维上它被称为“律历一体”的逻辑关联，在图像上又是一种“时空一体”的图像关联。
下文的说明难免要深入到音律数和历法数的细节，但这个过程是值得的，因为我们的目的不只局限于如何理解这个个案中不同层级的数，而是通过该个案获得相对普遍的早期中国思维观念和基本架构。一旦有了这个认识，我们便可以应用它去理解其他个案，同时也在其他个案中不断检验和完善我们对这种以数−图为中心的思维模式的理解。
一、以《陈起》为中心：
篇章结构及不同层次的“数”
《鲁久次问数于陈起》是北京大学2010年入藏的秦简牍《算书》甲种中的开头部分。《算书》有甲、乙、丙三种，其中甲种篇幅最长，开头是一篇由32枚竹简组成（816字）的独立文章，被命名为《鲁久次问数于陈起》（下文简称《陈起》）。在汉以前关于数为什么重要及有益的讨论中，这个对话是最长且最详细的。
简文原为连抄不分段，整理者按照三问三答的结构将其分为三段（分别以“鲁久次问数于陈起曰”“久次曰”“久次敢问”为标志）。这里再将其进行细分，第一次问答较短就不作区分。第二次的回答我分为三段（以三个“曰”字为标志）。第三次回答分为两段，第二段是陈起的自问自答（标志是问句）。现将文本结构和内容按顺序总结如下。
A.第一问。久次向陈起提出“读语”和“计数”何者更紧要的问题，陈起回答“数”更重要，通晓“数”可以通“语”，反之则不可。这就特别肯定了数在一切知识中首要性的地位。
B.第二问。久次继续问，“天下之物，孰不用数”？陈起回答“无不用数者”。然后，陈起对此连续进行了三次说明。
（I）这次说明相当于总说，指出（a）天、地、岁、四时、日月星辰、五音六律，均用数。（b）接着，转到身边之物，指出一日之劳役、出行、耕作首先需要知道食数、里数和亩数。（c）再转到人体和疾病，指出人体如大树（列举22处身体部位），疾病从中生发，其治愈和死亡的关键都在于数。
（II）这次说明中，（a）陈起给出了一个天地模型，即三方三员（通“圆”），并指出规矩准绳、五音、六律都存于其中。（b）指出上古圣君贤臣以创制为天下之法命名（“以作命天下之法”）、立黄钟律为辅佐：用黄钟十二律给天下打上印记，分为十二时，用十二地支命名；从中生五音、十天干、二十八（日）宿。（c）再转到人体，再提人从头到脚各部位都有其主管，各部位是否治愈和死都有数。
（III）给出了三方三圆模型的具体数值：大方大圆为单薄之三、中方中圆为日之七、小方小圆为播之五。命它们为四卦，得以卜知天下。
C.第三问：久次又问临官立政、立度兴政，什么数最紧要？
（I）陈起回答每种数都很重要（“数无不急者”），并举出以下例子：上朝理政，没有数就无法知道时间（“循昏黑”）；协调各部门的工作，都需要从小到大的量制单位（升、㪵、斗、桶）来命名各项物资；制造兵器，没有数就无法做成；锻造钢铁、铸造铜器，融合红铜、白锡，调和硬度和韧度，制作磬、钟、竽、瑟等乐器，调和五音六律，没有数就无法和谐；颜色从植物中提取，没有数就无法区分五色；以工具和规矩来筑城，没有数就无法准确裁断；等等。“数”还可以用来分配职事、考核绩效，取第一和最后的平均数为标准（“取其中为民义［仪］”）。
（II）陈起以自问自答的方式，讨论了数之知识的产生及其学习方法。（a）陈起设问，古代研习数学的人，他们的知识从何而来（“凡古为数者，何其知之发也”），自答其关键是数与标准（“度”）的互相贯通（“相彻也”）。（b）数之于民，就如同日月之于天。因而必须颁布数，然后不断调整改进，否则民就不知百事之利害。稍后陈起又提到，古代圣人所做就是将数写在竹简、简帛上教给后人。（c）至于学习数的方法，应是先难后易。先确立一个整数，再减或除，由锱到锤，将半加倍，由具体的例子来启发。（d）而学习数学的诀窍，则是九九乘法表（“隶首者”）以及分数与整数的换算（“少广者”）。
在以上对简文内容的梳理中，我们看到，陈起关于万物皆数的回答涉及了不同事物，其中的数也具有不同性质：有与天地结构有关的数、与身体部位有关的数、与政事有关的数、度量之数、五音六律、五色等。有的给了具体数值，有的没有。如果认为这些数只是松散地放在一起，就会显得陈起的回答结构难解，只是笼统地说先谈了天地自然之数，后谈了切近的生活用数和身体的数，并且这些数模糊地关联着。但这明显没有回答“为什么”把这些事物关联、数是否和如何成了它们关联的媒介的疑问。
我们首先讨论《陈起》对“万物无不用数”的总说（上节分段中的B-I），认为其符合更普遍的早期中国宇宙生成论以“岁”为终点/目的的基本结构；同时说明作为终点/目的的“岁”或“年”是一个时间单位，这个最重要的时间单位的设置，既有自然规律（太阳运行周期），又有人为规定（以“四分历”为例，就是回归年的小余数取1/4，即认为规定一年为365又1/4天）。然后，我们从《陈起》前进到对早期中国历法生成论各个阶段和基本形态、结构、特点的总结。
借鉴马克的研究，我们认为在先秦不同文献中关于宇宙生成阶段的表述有一些共通特点。一是以周期性的“岁”为旨归，二是大致可以分为有规律的几个阶段：（1）混沌阶段，原初宇宙单位在这个阶段出现；（2）裂变阶段，对立的原初配偶体在这个阶段产生；（3）定型阶段，即“四时成岁”标志着宇宙运动的定型，常通过四季节律来表达。这个基本模式在不同文本中以不同的方式表达，有时以神或圣人作为叙述主体（如《楚帛书》《尚书·尧典》），有时以自然实在（如《太一生水》），但都具有同质同用的特征。若以数位形式表达，这个基本模型便是：1→2→4→岁。马克认为，以“岁”之周期的完成来标志宇宙创造之巅峰状态，是中国早期宇宙生成论的普遍特点。“岁”在等级上具有优先性，它在作为目的的意义上先于其他时间表达要素，代表着合于宇宙运行包含其他一切周期的万能庞大体系，四季变换及星辰运行只是这种历法周期的具体表达；因而早期中国宇宙论的模式是“将天体运动的规范化过程纳入由多个不同抽象周期所组成的复杂的历法体系”。
我十分同意马克先生的这些看法，只是建议将这个数位表达式修正为“1→2→岁（包括四时、八节等时令，以及十二月）”。修正后的式子避免了“四时”与“岁”前后关系上可能引起的误解；更主要的是，虽然“四时”作为太阳的周年运动最重要的节点，是对“岁”最重要最常见的一种刻画，但就作为阴阳合历的“岁”而言，十二月也是对它的划分。并且，就“四时”节点而言，其下还可以细分为八节、二十四节、七十二候等。修改后的式子就更好进行进一步的划分。
以此看《陈起》对“天下之物，孰不用数”问题第一次说明的首句总说（B-I-a）——“天下之物，无不用数者。夫天所盖大殹，地所生之众殹，岁四时之至殹，日月相代殹，星辰之生〈往〉与来殹，五音六律生殹，毕用数。”——就发现，其顺序完全符合上述从宇宙原则（数），到裂变（天、地），再到“岁”的顺序，而“四时”标识四季循环的周期性，日夜更替和星辰往来都是在这个“岁”所标识的周期性中的具体时间标志。
从形而上学角度看，这个模式包含着中国早期思维对宇宙生成的深刻思考。首先，先有空间（“夫天所盖大殹，地所生之众殹”），才出现了时间（“岁四时之至殹，日月相代殹，星辰之生〈往〉与来殹”），因为空间在先才能为生成和变化提供发生的场所，而生成与变化就是时间的具体表达。其次，空间由对极（polarity）——也就是马克所说的“裂变阶段”——所标识，对极在混沌中开辟的区域，是宇宙中最初之维（dimensionality），在《陈起》中这对对极直接展现为“天−地”，在其他文本中可能表达为其他对极。接着，时间在对极所豁开的最初空间中出现，是以一种周期性时间的方式，即“岁”，然后才是可度量、可计算的其他时间，如昼夜交替和四季变化（“日月相代殹，星辰之生〈往〉与来殹”）。可度量、可计算的时间或称为时间之表象或具体时间，它们以相继和变化为特征。这样的时间该如何从静止的空间中产生？是否有一种兼具空间特征的原初时间，可以作为具体时间流逝的框架？有。那便是周期性（cyclicity），也就是“岁”。当我们称早期中国的历法生成论为以“岁”为目的或旨归的生成论时，表达的正是“岁”在存在论上对于其他流逝时间的在先性，这种在先性源于周期性，而周期性是一种带有空间化特征的时间。因而，从存在论上对这一过程进行解释便是：数作为原则处于最高等级，其次空间（由对极豁开最初维度表达）先于时间，而空间化的时间（周期性）又先于所有具体时间。
表一 以“岁”为旨归的历法生成论
令人惊讶的是，这种宇宙生成论中所蕴含的对于时空关系的深刻思考（即空间在存在论上先于时间），在早期希腊也可以找到，例如赫西俄德的《神谱》。这一相似让我们确认，这些蕴含于宇宙生成论中的深刻思考，并不是我们对早期中国思维的臆想，而可能是人类最初对时空结构的感知所决定的。同时，也可以确认，以周期性的“岁”为这种生成论的旨归，是早期中国独特的现象。
既然周期性是一种有空间化特征的时间，那么“岁”的图像化就是一种自然而然的趋势。之后我们将在深入分析中，逐渐体会周期性与图像化思维的内在关系。在这一部分，我分析的是“岁”作为一个基本的度量时间的单位如何被图像化，这正是《陈起》中以文字描述的“三方三圆”天地模型（见B-II-a和B-III）的解读语境。具体来说，陈起对“岁”进行图像化的方式，是借助太阳运动周期中最重要的节点二分与二至进行的；在此基础上，当时掌握天文知识的知识分子发展出了复杂的盖天数理模型，《陈起》中的“三方三圆”图与《周髀算经》的七衡图都属于这一传统。
陈起在第二问回答开始（B-I）就提到了天地结构（“夫天所盖大殹”），之后他在第二次说明（B-II-a）中提到了三方三圆，并进而在第三次叙述（B-III）中给出了该结构的具体数值：大方大员（圆），命曰单薄之三；中方中员（圆），命曰日之七；小方小员（圆），命曰播之五。我们的任务是说明这一文字对应的图像是对“岁”之周期性的具体模拟：它不是象征，而是符合天文现象的演示图。要理解这一点，我们需要对早期中国盖天的天地模型及其所反映的天象有些了解；由于《周髀算经》中保存着早期中国较为完整的盖天数理模型，因而我们的背景勾勒参照其进行。
盖天说的基本假设是天地平行。如何在这样的天地结构中表示“岁”的周期性和具体时间流逝，也就是表示四季循环和昼夜交替？《周髀算经》的模型是以一圆表示某地（如周地）的视线范围（见图一空心大圆），再以另一圆（见图一实心圆）表示太阳的日照范围。就每日而言，太阳运行进入该地的视线范围就是白天，运动出该视线范围便是黑夜，这个过程便模拟了每日的昼夜变化。若细分，我们可以对其标识出日出、日中、日落、夜半四个关键节点。
图一 日出、日中、日落、夜半
我们可以继续在这个图上增加对四季变化的模拟，这依靠增加同心圆的数目来达成。假设太阳每日均绕中心点做圆周运动，由于每日日照时长不同，因而表征每日太阳运动的圆半径就不一。太阳围绕中心点运动的半径越小，它在点状圆上扫过的角度越大——假设角速度一定，即太阳运动速度一定——太阳在视线范围内停留的时间越长，也就是说，日照时间就越长。
按照这样的规律，我们就可以首先标识出一年中最重要的“四时”节点（见图二）：冬至日照时间最短，因而半径最大；夏至日照时间最长，半径最小；春秋分日夜平分，半径取二者之中。因而一“岁”中太阳运动，就是从冬至对应的半径最大的最外圈开始做圆周运动，随每日推移，圆半径越来越小，到最内圆时是夏至，然后折返，继续向外做圆半径越来越大的圆周运动，至最外圆时为冬至，即一年。这样就以日照范围图像化的方式，模拟了太阳周年运动周期，即“岁”的周期。
（左）图 二 《陈起》的三方三圆图
（右）图 三 《周髀算经》的七衡六间图
在这一个回合的折返运动中，若只标识二分二至点，就会出现三个最重要的同心圆，分别对应冬至、春秋分和夏至，即《陈起》中的大圆、中圆、小圆，或《周髀》中的外衡、中衡和内衡。如果像《周髀》那样再加入二启（立春立夏）和二闭（立秋立冬）的标识，即标识出“八节”，那么就会出现七个同心圆，得到“七衡图”或“七衡六间图”（见图三）。
关于《陈起》中三重方圆图所对应的三、五、七数值，陈镱文和曲安京已经给出了较合理的解释，即理解为三组外切圆及其内接正方形层层嵌套的结构。《九章算术》中“方五斜七”的规律（正方形一半的三角形，其边长是五，斜边约为七），可以解释“播之五”与“日之七”的数值，与小圆和中圆半径对应。如此小方小圆和中方中圆呈现为外切圆及其内接正方形相互嵌套的结构，推至大方大圆，便得到大圆半径为十。设大圆半径为一个单位，π值取3（同《周髀》）其面积就是三个单位,对应简文“单薄之三”。因此“黄钟之副，单薄之三”就是三方三圆模型中正方形及其外接圆的面积比。
《陈起》和《周髀》在天地模型图上有连续性，它们都是用图像来模拟日照时间长短在一年中的变化，以展现“岁”的周期性；借助的最关键节点就是“四时”，这都符合上文以数位和图表列出的早期中国宇宙生成论的演进阶段。但读者可能会注意到这一传统中《陈起》图和《周髀》图的差异：《陈起》的嵌套三重方圆图是等比模型（等比比值为根号2，约为5∶7∶10），而《周髀》的七衡六间图则是等差模型。为何会有两种盖天模型的图像传统呢？陈、曲认为，《陈起》图比《周髀》图更合理，我不大同意。我认为更合理的解释或许是，等比图（即嵌套方圆图）可以直接由矩和规两种工具画出，作图容易，产生时间较早，我们在考古上发现的早期祭天的大型建筑基本上也都是使用了等比形制；而用均匀的等差模型在作图上要麻烦一些，很可能是秦汉时期受到均分时间观念的影响，或者是官方制度化推行的结果。换句话说，《陈起》式等比图借鉴了长期作图和建筑实操，是自下而上的提炼，而《周髀》式等差图则是在此基础上，受自上而下推行的均分时间理念影响而修改后的图像。
本处之所以要将《陈起》放回到其历史语境——盖天说的天地模型，目的在于说明这种岁历周期的图像化不是象征图像，而有非常实在的知识基础；同时认为它和《周髀》中的图像一脉相承，二者的差异是历史原因造成的变化，而并非观念上有所对峙。因为如果是象征图像，更直接的方式是将日照时间最短的冬至与小圆对应，将日照时间最长的夏至与大圆对应（因为在象征体系中，时间短对应图形小，时间长对应图形大是更合理的）。但目前学界接受的解释却正好相反，是冬至为大圆，夏至为小圆。只有了解了盖天模型如何反映太阳日照时长并推广至全年重要时间节点，认为多重（方）圆图是对其抽象，才能正确建立这种对应。
《陈起》中用文字表达的这种图理，虽然已经十分抽象，但它仍然是一种关于事实的模型，应当理解为早期中国宇宙三维立体模型（见图四）的降维呈现（见图二、三），这是早期中国视觉思维方式和战国时期发达的数术知识共同催生的产物。这也给讨论带来一个副产品，即附带说明了中国并不缺乏拟合天文现象的宇宙论三维几何模型。原先的刻板印象是中国擅长算术思维而希腊擅长几何思维，但现在看来这两个特质的总结都需要重新思考。
图四 盖天模型的三维可视化
我们来讨论《陈起》中另一组与以“度”为旨归的音律生成论有关的数。陈起在第一次回答“天下之物毕用数”的总说时，就在“岁”与“四时”周期及其具体的时间表达之后，提到了“五音六律生矣”。（B-I-a）同样，他在第一次描述三方三圆图时，也提到了“规矩准绳”和“五音六律六间”皆存其中。（B-II-a）在叙述圣人贤臣之“作”时，又提到首先要做的就是“命天下之法，立黄钟为副”，并以黄钟所生的十二律“印记天下之时”。（B-II-b）此外，与“度”有关的数则出现在第二答第一次说明时提到的食数、里数和亩数（B-I-b），以及整个第三次问答中（C）。这些内容我们认为都可以归入音律生成论，并且其特质就是以“度”为旨归。这一节的工作就是将《陈起》放在更大的历史背景中，通过和其他文献对比，总结和提炼早期中国音律生成论的基本形态及各个阶段的特点。
但讨论音律生成论，需要首先对早期中国的生律法有一点初步了解，才能在之后的讨论中知道哪里是观念起作用，哪里是技术起作用。早期中国从自然中发现的音律生成原理通常被叫作五度相生法。虽然在以《管子·地员》为代表的作品中记录的是导生五声音阶的方法，以《吕氏春秋》为代表的作品中记录的是导生十二律的方法，但生律法的实质是一样的。无论是采用哪种方法，我们都只需借助五度（2∶3）和八度（1∶2）的两个比例（4/3=2/3×2/1），就可以获得五音和十二律的所有音了。（见表二和图五）
表二 早期中国生律法
图五 十二律按音高排列
从自然的声音中发现音律比例及五度相生的规律，并不是只出现在早期中国，也广泛出现在地中海地区，如古希腊毕达哥拉斯学派的著作中。相较而言，早期中国音律生成论的独特性，是将音律生成论与度量衡体系关联起来。“度”（measures）本来完全是一套人为规定的度量衡之起点，但将这个单位同时作为音律生成论之终点/目的，就将度量衡的来源追溯到了自然的声音比例；再将这个长度作为接下来一整套“量”（weights）的单位的来源，就使整套度量衡体系都有了自然来源。这同我们在前面讲到的时间基本单位的确立是类似的，“岁”这个单位的确定也是既有自然基础（即太阳运动的周年回归现象），又有人为规定（回归年余数的选取，秦汉时期选取为1/4）。
陈起在关于宇宙生成论的总说中提到天地、岁、四时、日月、星、音律之后，便给出了与度量有关的话：“子其近计之：一日之役必先智（知）食数，一日之行必先智（知）里数，一日之田必先智（知）亩数，此皆数之始殹。”这里的里数、亩数和食数，分别是度量距离、面积和体积的数。与这句相关的更多内容出现在了第三次问答中（C），在那里陈起又提到了从小到大的量制单位升、㪵、斗、桶，照整理者的解释，“㪵”是半斗，“桶”为十斗。我们可以借助《汉书·律历志》来重构陈起没有明确给出的关联。《汉代·律历志》关于王莽新政颁布度量衡的记载有如下说法：
度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度长短也。本起（于）黄钟之长，以子谷秬黍中者，一黍直广，（度之）九十（黍，得）黄钟之长。
量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起于黄钟之龠，用度数审其容，以子谷秬黍中者千有二百实其龠，以井水准其概。合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。
也就是说，若将音律的基音黄钟律作为“度”的起始，就可以将发出黄钟律的律管的长度（如九十黍）作为标准，进而也就有了测量长短的各级单位；以黄钟律管的容量（如一千二百粒黍）作为单位（即“龠”），进而就有了测量容量的各级单位（合、升、斗、斛）。最重要的是将黄钟律设为度量衡的起始标准，然后可以通过具体发出黄钟律的律管的长度进一步确定其他度量。
借助《律历志》中较为成熟的以“度”为旨归的音律生成论形态，可知陈起在第二问答提到的五音六律，与紧接其后提到的食数、里数、亩数（B-I-b），以及第三问答所列举的诸种度数之事（C），当属于一条线索。虽然此时音律和度量的关联还未像《律历志》那样落实到具体数值，嘉量也还未统一，但这一思路已经体现在了结构安排上：无论在第二问答内，还是第二、三问答的顺序上，都是先谈音律，再谈度量；通过音律这种数，建立了自然与政治领域的关联。《陈起》中明确强调，音律数并非人为创造，而是圣人贤臣从自然中发现的，是他们将这些数作为度量衡的标准，以惠后世（“书于帛书以教后世子孙”）。
表三 以“度”为旨归的音律生成论
至于早期中国为何会将音律生成论与度量关联起来？为何会用音律作为度量衡系统的初始标准？我也给出一个猜测性的回答。我认为可能有技术和历史两方面的原因。技术上，因为实际演奏中弦乐器的音高很不稳定，需要更稳定的乐器作为定音标准，因而出现了保持绝对音高的乐器——律管；从现有的实物证据看，如雨台山战国楚墓出土的律管和汉初马王堆出土的律管，以定音为目的的律管多为竹制。而同时，在中国黄钟律成为度量衡标准，则与战国时开始、秦汉时进一步确立、至西汉末年完成的度量衡标准化运动有关。正是在这一特定历史时期的特定运动的影响下，律管的功用才逐渐从校定音高扩展到校定度量衡。当被作为度量衡的标准，律管的材质也相应地改为青铜，这是出于最大程度减少温差影响的需要；相应地，当出现青铜制律管（现存实物有王莽新政时所用的青铜无射律管），其对精确性的追求已超出音律领域，进入政治领域。
讨论以“岁”为旨归的宇宙生成论时，我们首先深入分析了早期中国以寻找时间周期性为主要旨归，以及将“岁”作为时间周期基本单位，然后分析了其图像化的思维方式。这一过程同样适用于以“度”为旨归的音律生成论。上文我们解释了早期中国将音律与“度”相关联，并将其作为政治生活计量基本单位的方式和原因，这里我们就讨论音律的周期性及其图像化的方式。
五音和十二律有相同的生律法实质，但要强调的是，二者在观念上其实有一个很大的分别，即五声音阶不回归，然而十二律音阶则理论上设定了要回归到起点的理想目标。虽然我们知道在实践上，按照五度生律法，第十一个生成的音“中吕”继续生成是回不到黄钟81的，真正要达到完美回归，需要全新的律学和算法，即使用十二平均律和开根计算，那也要等到明代朱载堉的时期了。但在明代之前实践上的这种不可能，更说明了十二律周期回归的观念是设定的理想观念。换句话说，十二律所代表的含义超出了单纯技术性的层面，代表周期性；同时它又因其生律法的自然来源和度量旨归，而沟通着自然与政治世界。在周期性、沟通自然与人为等方面，十二律所扮演的角色与“岁”完全相同。这也是为什么在陈起提到圣人贤臣为天下立法时，首先是以十二律来与时间对应，而五音只是进一步安排中的要素之一而已（“始诸黄帝、颛顼、尧、舜之智，循鲧、禹、皋陶、羿、箠之巧，以作命天下之法，以立黄钟之副，副黄钟以为十二律，以印记天下为十二时，命曰十二字，生五音、十日、廿八日宿”）。
与“岁”周期的图像化思维一致，早期中国也确实有将理想的十二律周期投射为图像的传统。陈起在说“副黄钟以为十二律，以印记天下为十二时，命曰十二字”时，还原到历史语境，可能是一幅类似图六的方形图。上文曾强调过，周期性本来就是一种有空间性质的数，它先天具备可以投射为图像的潜能。图六的绘制方式就是把十二律名按音高顺序顺时针排列，“黄钟”对应“子”位，依次与十二干支一一对应。
图六 “十二律相生图”
这幅图原为刘国忠为解释《五行大义》卷四74行一则与“旋相为宫”有关的背记材料时所绘。近年来大量数术出土文献的出现，证明了这种十二律的图像化在秦汉时期已出现，如放马滩秦简的研究者程少轩就确认了，《钟律式占》中“以钟律数占卜”（见第333简）的文字叙述，与这幅图的标注一致，并且这个对应的基本结构是进一步解释其他各种要素如何配入的基础。
这种十二律周期性在图像上的表达规律，也就是后来中国古代纳音中常说的“隔八相生”：音律（如黄钟）从其对应的干支位（子位）顺时针数八个干支（到未），得到的就是其生成次序中的下一音律（即林钟）；如此进行下去，可以回到黄钟起点。十二律在实践上无法完美回归的问题，在图像化的过程中消失了。反过来说，十二律周期回归的观念，通过图像被固定和强化了。
在这一基础架构下，可以继续标注其他周期性要素，如十二月，这也正是简文“以印记天下为十二时”的含义。值得一提的是，在秦汉时期“十二时”多半指十二月，而不大会是十二时制。这是因为秦汉时使用的历法是四分历（即每年365又1/4日），将其余数（即5又1/4日）分配到每月和各节气时，小余分母只能是16或32，而不可能是12，因此只有将一天分为十六和三十二，才能确保各节气点都落在一日中的确定时称上。这正是我们在秦汉文献及出土日书中多见十六和三十二时制的原因。
分析到这里，我们已经将《陈起》中涉及的大部分数学对象都归历法生成论和音律生成论之下，并认为早期中国宇宙生成论和音律生成论之特质，在于各自以一个基本单位为终点（前者为时间单位“岁”，后者为度量单位“度”）；并且也通过探讨这两种生成论的周期性——太阳年回归周期与十二律理想周期——看到了各自图像化的知识基础，也看到了它们各自图像化的过程，这种图像化过程不是对事物的再现，而是对事物规律的抽象化、模型化、观念化，是谓图理。
但这里仍然有遗漏，例如陈起谈到的身体部位之数，并未被归入这两种生成论。又如在图像化的过程中，我们还没有依据对不具周期性的要素进行安排，如五音、二十八宿。除此之外，历法生成论的多重（方）圆图与音律生成论的方图，能够合并吗？这些问题我们将在下文通过讨论早期中国民间普遍使用的式图来回答。
和观念形成方面的作用
此前我们讨论的都是上层精英阶层的观念及其知识基础，以及图像化在此过程中的作用。这里将从一个新的角度，从早期中国民间数术实操（即日常投日占卜）长期使用的用具（式盘）及其图像（式图），来讨论它们在观念固定化中的作用。就上文所谈的两种生成论而言，它们或许正是通过包含天盘和地盘的式盘，才最终被紧密地连接在了一起，最终形成了中国独特的“律历一体”观念。式图是对精英知识的简化，但同时它能纳入更多要素，这反过来对观念形成起了不可缺少的固化作用。
早期中国数术实践中最关键的工具被叫作式（或栻），这种工具所呈现的图像被称为式盘和式图。实际上，这类图像的名称并未完全确定，它们还被称为勾绳图、TLV纹、日廷图、罗图等。我是在非常宽泛的含义上使用“式图”这个词，它既包括出土式盘实物所呈现的图像，也包括出土数术类文献中配合文字解释的示意图，还包括学者们根据文字复原或重构的图像。由于这种工具及其图像是在民间流行和使用的，所以过去我们从典籍中很难了解，但近几十年持续发现的出土数术文献填补了这一空白。
从现有的材料看，式图种类繁多，但其基本结构是清楚的：一圆形天盘，加上一方形地盘。周家台秦简中的一幅出土式图，包含要素较为简单（只有天干、地支、四方、二十八宿），可以作为早期中国六壬式图的一个典型代表。时间上，也与《陈起》的年代相近。
观察图七内层的地盘结构，可见其核心要素是方位。十字（即“二绳”）标识东西南北，四个“L”形（即“四钩”）标识其他八个方向（东偏北、东偏南、南偏东、南偏西等），共十二方向，可用十二地支标识。十二律周期图像，很容易与地盘结合，这样十二律、十二支、十二月就与十二方位一一对应了。但十二月的安排不一定放在地盘，它作为时间标识，也可以均分安排在天盘的圆盘上。与此相反，星宿要素的排布，在周家台秦简是安排在天盘上的，但在其他一些式盘中也可以按照七个为一组的方式，四象（青龙、白虎、朱雀、玄武）对应四方，排列在地盘上。四时的安排，也是两可。
图七 周家台秦简“二十八宿占”式图
天盘的具体功能就是在“星辰之往来”的背景下标识“岁”的周期。六壬式盘选用北斗作为其定位天体，以北斗斗柄的指示方位来标识岁历周期；这样每月斗柄在天盘上运行15°，就对应于地盘上的一个月，旋转360°就是十二个月，即一年。太乙式盘情形与此类似，只是其选用的定位天体是帝星，即当时的北极星。将天盘与我们上文讲过的基于盖天论的数理模型的多重（方）圆图进行对比，可见天盘明显进行了简化，但它仍然是对岁历周期性的模拟和抽象。民间不用多重圆模型，因为对太阳周年运行规律的模拟比较复杂，需要更高级的数理知识，这些知识并非民间所知，民间也不需要精确的数理模型。相较而言，北斗的观测，模拟其在图像上与四季的对应，都相对容易得多。
天盘地盘相配合，式图就成了时空一体的宇宙图像。在这样的架构中，如何安排像“五音”这样没有周期性的要素呢？方法是借助式盘的方位和数的通约性质。地盘中“二绳”指示是四方加上中心，即为五方；五音与五方都是五个，可以一一对应。五音在图像上的安排，不是按照音律计算的数值来安排的（比较表二）——否则宫音和黄钟数值均为81，应对应相同方位（子位），而商音应该对应于数值相同的太簇所对应的方位，等等——而是用了简化的五方直接配五音的办法。从出土实物看，一般宫作为五音起算音，固定占据中心位置，但四音和四方的搭配有不同方案，经历了一个从不同方案到定型的过程。
按照同样的思路，一方对应两个天干，也就和“十日”对应。这样，我们就完全解决了陈起所说的圣王先贤为天下立法时，以音律“印记天下之时”所提及的各个要素如何表达在图像上的问题。如此一来，理论上所有来自自然的音和律，都能够同时与时间和方位匹配了。可以想见长此以往，人们也就形成了某音某律与某方某时关联的思维习惯。
与此同时，我们也清楚了利用式盘进行要素搭配的基本方法。天盘的主要功能就是标明天区，并选用标志性星体模拟岁历周期。而世间各种要素的配入主要是利用地盘，地盘则可以利用两个原则吸纳多重要素，符合地支数（或数值相当于其四分之一）的事物，按十二律的方式安排；而符合天干数（或数值相当于其一半）的事物，按五音方式安排。
最后，陈起在讨论疾病治疗之数时所列举的患病人体部位（“今夫疾之发于百体之树也，自足、胻、踝、膝、股、髀、尻、膂、脊、背、肩、膺、手、臂、肘、臑、耳、目、鼻、口、颈、项”）是否也能被纳入式图呢？我认为是可以的。因为这些部位从头到足正好是22处，正是地支数与天干数之和。数目相同，理论上就可以将其分组安排：一组为十处，与天干一一对应；另外十二处可分为四小组，每组三处，与地支一一对应。除了数目相合，实际上还有一种观念与此相合，因为疾病治疗和死亡也被认为遵循一定周期。据学者对出土日书中所见疾病占卜的研究，出土文献的疾病占卜系统也分为十二地支的系统和五方系统，其中十二地支系统对疾病发展的理解常遵循“疾→少瘳→大瘳→死生选择”的格式。陈起几次提到人体疾病治疗之数，强调治病的时间，并且也将疾病按照瘳与死分段（“苟知其疾发之日，早暮之时，其瘳与死毕有数，所以有数故可以医”），或许也暗示陈起分享着周期性理解疾病的观念，也懂得人体和医学知识，可能也会在治疗时使用这样标注十二干支的式盘为百姓占病。
借助式盘及式图，那些遗留在岁历图像和十二律周期图像外的要素（如《陈起》中的五音和人体部位）都得到了安排。不仅如此，我们已经理解了各种要素如何在式图中进行安排的一般方法。各种各样的要素都可以按照这样的思路逐渐加入式图，无非是加减乘除，因而《陈起》篇最后说的就是加减乘除和分数整数的换算，是学习所有“数”的法宝。
一直以来，我们都对早期中国事物联系的方式感到困惑。特别是涉及天文历法这种在分科中属于“严格科学”的领域时，我们就更加困惑于为何一些基本常数数值能够“随意”从其他领域拿来呢？例如，最为典型的，汉代三统历的日法（即每月日数之余数的分母），直接拿来了黄钟律的数值81。历法中的常数，何以能够直接用黄钟律？过去，我们将这种“随意”“任性”的举动解释为象征性思维或受数字神秘主义的影响，或者说这是前逻辑思维。现在，借助大量出土的汉以前出土文献，我们得以对早期中国历法数与音律数紧密联系的历史语境和思维过程进行重构。
我在本文中的观点是，早期中国将音律与历法并置与关联不是随意的，也不是观念上的抽象结合，而是两套有着各自生成规律的历法生成论和音律生成论的结合。它们的结合至少有三点保证：其演进方式、阶段和旨归项的相似性，为其类比与结合提供了理论基础；将它们作为数学对象、并将生成规律投射为图像的思维，为结合提供了模型基础；最后，日常使用的时空图像（式图），成为了它们联系固定化的底层构架。
这些观点是在对个案《陈起》的解读中逐渐提出的，但这也符合早期中国思维的一般情况。因为《陈起》文本被我们放置到整个先秦秦汉的数术背景中，在每一节不同层次的讨论中都与多个出土文献和传世文献进行了比较。我们将文本提到的那些看起来杂乱的数学对象——时间、空间、天地结构、历法、音律、度量、疾病治疗、身体——大致分类到历法生成论和音律生成论之下。同时，有希腊宇宙生成论和相同音律原则的发现作为对照，我们为早期中国的这两种生成论找到了其特质，即分别以“岁”和“度”为旨归；它们都以自然为来源进行演进，最终到达的终点都是政治生活中可以测量和计算的单位（分别是时间单位和度量单位）；这成为它们可以联合、可以类比的理论基础。
此外，岁历和音律还都有一个显著特征——周期性。周期数是一种可以投射为图像的数，将周期数投射为图像也是早期中国思维的一种习惯。在《陈起》中，我们看到岁历周期的图像化以太阳为表征，其可视化借助模拟盖天模型下太阳在二分二至点不同的日照长短进行，呈现出三重同心圆的图形，这是与《周髀算经》“七衡图”处在同一传统中的天文数理模型。与此同时，十二律作为理论上——实践上达到要迟至明代——设定的周期数，其生成规律也可以投射为图像：将十二律按音高在方形盘上顺时针排布，音律生成有“隔八相生”的规律，并最终能够回到起点。这种将事物看作数学对象、寻找周期性并将其投射为图像的思维方式，是早期中国将不同要素规整到一个模型中的典型思路。
最后，岁历周期图像和音律周期图像是可以合一的，并且它们合一的示例就是日常投日占卜中所使用的时空图像（天盘和地盘）。虽然在《陈起》个案中，他提供的是一种混合了复杂专业知识和民间实际操作的理想模型，但其基本观念与民间日者所使用的图像所表达的观念是一致的。民间日者没有用太阳进行演示“岁”的周期，而用了其他天体：如常见的六壬式天盘是通过模拟北斗在一年中的运转，以斗柄指向表示四时；而六壬式地盘也就是常用的十二律与十二地支相配图。因此可以说，民间式图与上层精英们基于数理知识的抽象图像，有着近似的图理，因而属于描述事实的简化模型，而非象征图像。
除此之外，我们还有两点可以扩展到其他要素和传统的启示。首先，推而广之，所有表征了阶段变化又具周期的事物，理论上都可以最终配入式图这个架构。例如在《陈起》中，如果在医学理论上将疾病到康复或死亡的过程理解为“数学对象”，有一定的阶段，遵循一定的周期，那么疾病治疗就可以被放入这个图像。而一旦通过人体部位放入这个图像，那么它同时就与空间、时间、音律等要素紧密关联起来。这个思路可以对研究早期中国医学上的“天人合一”观念有所启发。其次，虽然从上层精英的知识角度看，式图是一种简化，但从对观念形成的功用看，它拓展了上层精英之图理无法容纳的要素。式图以其方位构架，五方就为没有周期性的五音提供了图像化方法，推而广之，属于其他传统的五行、五色、五味、五脏等，也可以一一配入。而式图还可以表示十二方，再加上斜边则可以表示十六方。这样所有十二的倍数、十六的倍数的事物，皆可以纳入。这样就大大扩大了整个关联系统。
在本文的个案中，我们看到时间、空间、天地结构、历法、音律、度量、疾病治疗、身体，这些本来无关的事物逐渐被分类、分层，被找到周期性，被还原为图像（基本图形为圆和方），被在图像上按生成规律和方位排布。它们之间复杂而有序的关系在这个过程中慢慢建立，而当它们获得特定安排后，又因为这种时空图像是早期民间投日占卜长期所用的工具图，因而不断在实操中作用于人们的思维，使这一地区的人们形成了特定事物有特定关联的认知习惯。由于这些事物被安排在图像中时都被作为数学对象，因此事物之间的联系就可以通过“数”这一媒介来沟通和换算，同时“数”也具有了多义性。我认为，这就是早期中国思维中事物建立关联的“秘密”。
〔本文为国家社会科学基金青年项目“柏拉图《蒂迈欧》与亚里士多德《论天》比较研究”（20CZX036）和国家社会科学基金重大项目“简帛阴阳五行类文献集成及综合研究”（20&ZD272）的阶段性成果〕
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