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#《量子信息与量子计算》文字版
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上节说到，光与原子的相互作用，按照对原子与光场的不同处理方法，可以分为四种不同的理论模型。本节我们将介绍其全量子理论，即原子和光场都作量子化处理的相互作用理论。此时，能够全面描述辐射场的量子涨落和激光与物质相互作用的各种现象。以平面光腔为例，详见[M. Fox, Qauntum Optics: an introduction (Oxford University press, NY, 2006)]。两个平面镜彼此平行，在其中的光会来回反射。虽然非常简单，但足够描述光腔的基本性质，推广到其他光腔。当波长为λ的光被引入腔内时，这个腔就如同一个高分辨率的法布里-珀罗干涉仪。平面腔一般包括两个平面镜M_1、M_2，它们的距离为L，反射率分别为R_1、R_2。腔的特性可以通过分析光从一侧传输到另一侧受到的影响得到。假设没有吸收和散射造成的损失，传输率（transmission）由下式给出
容易发现T=1时，Φ=2jπ, L=jλ/2， 即L等于腔内半波长的整数倍，此时是所谓的共振（驻波）情况：光在腔中每次来回反射后都与之前同相，对应的频率(λ_j=jπc/L)是光腔的谐振模式频率。上图绘出了无损腔的T-Φ图（取F=20），在谐振时图像有最大值，尖锐的峰。T最大值的一半即T=0.5时，有从中可得 F=2π/ΔΦ, 即为2\pi与腔的精细度是相邻最大值对应的Φ的差与的比值。因此，我们清楚地知道腔的精细度决定了高分辨率光谱的分辨率。相似地，谐振模的光谱宽度Δω与F有关其中τ=L/[c(1-R)]为光子寿命。定义光子衰减速率为κ=1/τ, 可得κ=Δω说明光谱宽度由光子衰减速率决定。
可以看出ω_j和 F决定了平面腔的主要性质(F决定Δω和κ)。对于其他腔，定义品质因子Q=ω_j/Δω时参考F对平面腔的描述是有帮助的。量子多模电磁场与多能级原子的相互作用
这里电磁场采用驻波形式，(s)表示驻波(standing wave)。系统的总哈密顿量为为耦合强度，下标j, k表示原子能级，λ表示光场模式，它与原子电偶极矩和电场振幅的标量积成正比，因此若原子电偶极矩矢量与电场矢量垂直，则耦合常数等于零；同时，耦合强度与原子在光场中的位置有关，即sin (k_λ *z)。Jaynes-Cummings模型
单模量子化光场与单个两能级原子的相互作用是光与物质相互作用的最简单模型，称为Rabi模型，其旋转波近似后的形式称为Jaynes-Cummings（JC）模型。对于二能级原子，如原子的跃迁频率为ω_0，则其哈密顿量可写为H_0=ℏω_0 σ_z/2，详细的讨论见前文 量子信息002：量子比特。单模量子化光场的哈密顿量为H_F =ℏω a^+ a，这里略去了光场自由哈密顿量中无关紧要的常数项ℏω/2。因为在薛定谔方程中，哈密顿量常数项的影响仅仅会让态多乘了一个相位因子，所以可略去。
相互作用哈密顿量为
相互作用哈密顿量中四项的物理意义分别为: aσ^+表示原子吸收一个光子而从下能态跃迁到上能态; a^+ σ表示原子从上能态跃迁到下能态而发出一个光子; a^+σ^+表示原子从下能态跃迁到上能态的同时发出一个光子; aσ表示原子从上能态跃迁到下能态的同时吸收一个光子。其中后两项是能量不守恒项，因而，在没有额外能量来源的时候，一般来说是物理上不允许发生的。量子态动力学
可见，系统以Ω_n的频率在状态|e, n>和|g, n+1>间进行振荡。特别是，当光场初始处于真空态|0>时，Ω_0 =2λ，即自发辐射呈周期性振荡的形式。这与处于激发态的原子在自由空间的自发辐射呈指数衰减的结果形成鲜明的对照。这也说明原子自发辐射的性质不仅与原子自身的性质有关，而且与原子所处的环境密切相关。在自由空间，电磁场以连续的多模形式存在，因此原子在自由空间的自发辐射呈指数性衰减。而当电磁场处于有限空间时，原子自发辐射的性质将会发生改变。在不同性质的腔中原子具有不同性质的自发辐射。特别是当腔中只存在一个光场模式时，原子的自发辐射呈周期性振荡。关于原子在不同性质有限空间中的自发辐射的研究构成腔量子电动力学（cavity QED）的基本内容。上述结果表明，当系统初始处于直积态| e, n>时，一般来说，t时刻系统将处于由(38)式描述的纠缠态。特别地， (41)式描述的是系统处于最大纠缠态的情形；(42)式描述的是系统又变为直积态的情形；最后，在时刻t=2π/Ω_n，系统将返回其初始直积态。这些结果在量子信息处理中有着重要的应用。=====================================
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