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15个数论难题,解决任意一个都能让你称为顶级大佬 | 哆嗒数学网

风云之声 2023-01-13

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导言:


这些问题都是世界难题。

作者系哆嗒数学网群友,要求匿名

下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中,符号x^y 表示x的y次方。


1、哥德巴赫猜想:每个不小于6的偶数,都可表示为两个奇质数之和。

2、考兰兹猜想,也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n,如果n是偶数,则将其除以2,如果是奇数,就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去,会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说,无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1......这样的循环。

3、勒让德猜想:任意两个相邻完全平方数之间,都存在至少一个质数。即,对任意正整数n,存在质数p,满足n^2 < p < (n+1)^2。

4、孪生质数猜想:存在无限多个质数p,使得p+2也是质数。

5、梅森质数猜想:形如 2^n - 1 的正整数中,有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出,已经经过380多年了。

6、n^2+1猜想:存在无穷多个自然数n,使得n^2+1 是质数。

7、费马数猜想:数列F(n) = 2^(2^n)+1 ,n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n = 0,1,2,3,4时,费马数F(n)是质数;1732年欧拉发现F(5)是合数, 此后没有再发现其它费马数是质数。

8、奇完美数猜想:是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指,它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。

9、完美长方体猜想:是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c,使得 a^2+b^2 , a^2+c^2, b^2+c^2, a^2+b^2+c^2 这四个数的平方根都是整数。

10、黎曼假设:该问题提出于1859年,即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题。

11、欧拉常数γ是有理数还是无理数?其中γ的定义是 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n 在n→∞时的极限。

12、对于黎曼ζ函数,当k为正奇数时,ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明,k为正偶数时,ζ(k)是关于π的有理系数多项式,所以是超越数。

13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集,A中所有数的倒数和发散,那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况,这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。

14、n≥5时,拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1) = 1, R(2,2) = 2,R(3,3) = 6, R(4,4) = 18,n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5) 是43到48这6个数中的其中一个,也无法把它验证出来。

15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n , 如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和,而且n还是满足这个条件的最小的,我们就说g(m)=n。比如四平方和定理:每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和,相当于说g(2)=4。对于正整数m,n , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和,而且n还是满足这个条件的最小的,我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是 g(2) = 4 ,  g(3) = 9 , g(4)=19 ,  g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4,  G(4) = 16,还没有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m) = 2^m + [(3/2)^m] - 2, 这里方括号表示取整。


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■ 背景简介:文章2022年8月11日发表于微信公众号 哆嗒数学网(15个数论难题,解决任意一个都能让你称为顶级大佬),风云之声获授权转载。■ 责任编辑:KK.


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