电子结构分析【01】——关于能带的那些事儿（上）

在关于材料学的论文当中，经常可以看到能带结构图。如果想要了解能带理论的全貌，势必要花至少两个月的时间学习固体物理学的相关内容。这样庞大的信息量不是一篇文章可以容纳得下的。而这篇推文的目的，是写给非凝聚态物理专业的材料学研究者，让大家简略地了解一下关于能带的那些事儿~

图1 一个典型的能带图

图1是一个典型的能带图。我们先来看它的横轴。这些Γ，X，L之类的是些什么呢？简单地说，它们是K空间的点。关于K空间，有一个很长的故事，在这里写不下，我们只说两点：

第一，k值与电子的动量p有关，对于自由电子，动量，直接成正比关系。而对于固体里的电子，被定义成为电子的“晶体动量”（注意晶体动量与真正动量不同，但可以相类比）。

第二，在晶体中，由于晶体的原子在空间排列上是具有平移对称性的，所以k的空间也是具有平移对称性的，存在着平移矢量（也就是倒格矢），由于平移对称性，与是等价的。

回到能带图，我们看到能带图中有密密麻麻的线，就是电子的能量E对电子的晶体动量k的函数。那么问题来了，电子是在三维空间存在的，它的晶体动量也应该是三维的，加上能量这一维，就是个四维的空间，这个四维的空间，是怎么用二维的图来表示呢？答案是，我们并没有方便的办法来表示能量对整个三维k空间的函数，所以通常的能带图，它的横轴并不能包含三维k空间所有的点，而只包括一些特殊的高对称点与之间的连线。比如Γ是(0,0,0)点，X是(,0,0)点，L是(,,0)点等等。我们就是用能量E与这些连线上的k点之间的函数，来代表E与整个k空间之间的函数关系。至于到底选取哪些高对称点，这就与晶格的对称性有关了，这又是个过于长的故事，就不在这里讲了。

能带图的纵轴是能量。所以我们刚才说，能带图其实是电子的能量E对k的函数。在不同的体系里面，这个函数的图像是不一样的。比如最简单的体系，一维自由电子体系，能量对k的函数有个解析的公式：。也就是说，对于自由电子体系，能量对k的函数是个抛物线（图2）。那么我们就会发现，对于抛物线来说，能量E可以取大于零的任意值，这样的话，也就无所谓能带了。

图2 自由电子的E-k曲线

图3 晶体中的周期性势能

而对于晶体中的电子，情况就不一样了。晶体中的有周期排列的原子实（图3），这种排列的周期a与电子波（电子是波粒二象性的，所以它们也是波）的波长是相似的，所以周期性的晶格对某些波长的电子波具有散射作用。由于这种散射作用，使得能量轴上某些能量区间电子不能出现。这样电子不能出现的能量区间叫做禁带，电子可以出现的能量区间叫做允带（图4）。在我们通常看到的能带图中，那些有能带曲线分布的能量区间就是允带，一条能带曲线都没有的能量区间就是禁带（见图1）。

可以说，能带是固体中的电子特有的性质。对于小的分子来说，电子的能量处在分立的能级当中，而对于自由电子，如上文所说，电子的能量则可以取大于零的任意值，无所谓能带。而固体中的电子则处于这两种情况之间，在固体中的电子的能量轴上，既有连续可取的能量区间（允带），又有不能取值的能量区间（禁带）。这种允带和禁带交替的结构使得固体中的电子有不少专属于固体的性质。

图4 周期性势能的影响下，曲线出现禁带

能带图，是关于固体中电子的性质的图。它的横轴代表电子的晶体动量，纵轴代表电子的能量，而图中那些密密麻麻的曲线，则是能量与动量之间的关系。不同的晶体结构具有不同的能带图，也就是具有不同的电子能量与动量之间的关系。所以才说能带可以表征一种材料的电子结构。而从能带结构中，可以获得哪些关于材料性质的信息呢？我们下期文章再聊。