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知识点讲解

学习目标：

1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算；

2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

同步练习

1.5.2节《平方差公式的运用》

1．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形

（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　）

A．a²+4B．2a²+4a  C．3a²﹣4a﹣4  D．4a²﹣a﹣2

2．请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x²），…，猜想（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）的结果是（　　）

A．1﹣xⁿ⁺¹  B．1+xⁿ⁺¹   C．1﹣xⁿ   D．1+xⁿ

3.102×98等于       ；

4．已知a+b=4，a﹣b=3，则a²﹣b²=　　．

5．化简：（x+1）（x﹣1）+1=　　．

6．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　　（用a、b的代数式表示）．

7．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?

8．化简:(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)．

9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘    数”．如：4＝2²-0²，12＝4²-2²，20＝6²-4²，因此4，12，20这三个数都是神秘数．

    (1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?

    (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?

    (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?

1

参考答案

参考答案

1．C     2．A     3.9996   4．12     5．x²     6．ab

7．解：设操场原来的边长为x米，则原面积为x²平方米，改建后的面积为(x+5)( x-5)平方米，根据题意，得 (x+5)( x-5)- x²＝(x²-5²)-x²＝-25．答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米．

8．解：原式＝(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)÷(2²-1)

＝(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)÷(2²-1)

＝(2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)÷(2²-1)

＝(2⁸-1) (2⁸+1) (2¹⁶+1)÷(2²-1)

＝(2¹⁶-1) (2¹⁶+1)÷(2²-1)＝(2³²-1)÷(2²-1)

=(2³²-1)．   

9．解：

(1)找规律：4=4×1＝2²-0²，12＝4×3＝4²-2²，20＝4×5＝6²-4²，28=4×7＝8²-6²，…，2012=4×503＝504²-502²，所以28和2012都是神秘数． 

(2)(2k+2) ²-(2 k) ²＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．

 (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2n -1，则(2 n +1) ²-(2n-1)²=8ⁿ，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．

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