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始终如一 | 虚拟变量与美丽的“虚拟变量陷阱”

江河JH 功夫计量经济学 2022-03-15
在研究过程中，我们通常会遇到定性信息，如性别、民族、婚姻状况等。这个时候，就该我们的虚拟变量“粉墨登场”了。虚拟变量可谓是计量经济学中浓墨重彩的一笔，伍老头子《计量经济学导论》专门有一章讲解虚拟变量，微观计量中的 DID、RD 和 PSM 等方法也都是建立在虚拟变量的基础上，其重要性不言而喻。

虚拟变量的引入

方法其实都是次要的，有时一个简单的虚拟变量就能帮助我们解决大问题。例如，我们想要研究劳动力市场中是否存在性别歧视，那么就可以建立如下的线性模型：
其中， 表示工资； 是表示是否是女性的二值虚拟变量，对于女性 ，而对于男性 ； 表示一系列控制变量。参数 具有如下含义：在控制其他变量不变的情况的下， 是女性与男性在工资上的差异。如果 ，那么就说明在其他因素相同的情况下，女性总体上挣得要比男性少，也就说明了劳动力市场上存在对女性的性别歧视。
  • 女性工资

  • 男性工资

虚拟变量陷阱

本来问题就是如此简单，但是很多人可能都会在这里犯迷糊，落入所谓的“虚拟变量陷阱”：在模型中加入了一个表示女性的虚拟变量 后，“手贱”又在模型中加入了一个表示男性的虚拟变量 。

femalemalefemale+male
男性011
女性101
由于 （始终如一）， 是 的一个完全线性函数，这就会导致完全共线性问题。完全共线性问题违背了我们的高斯-马尔科夫假定中的 MLR.3，会导致无法估计的“灾难性后果”。

假定 MLR.3 （不存在完全共线性）

在样本（因而在总体中），没有一个自变量是常数，自变量之间也不存在严格的线性关系。

至于完全共线性为什么会导致无法使用 OLS 进行估计，伍老头子那本书也没说清楚，如果大家学的是使用矩阵推导的计量教材，那么就会清楚很多。

多元线性回归的 OLS 估计量

其中， 表示数据矩阵， 表示数据矩阵的转置。

如果存在完全共线性问题，那么就会导致数据矩阵 中某一列会被消零，从而 不满足列满秩条件， 无法求逆， 不存在，无法计算 OLS 估计量 。

有序变量 or 多个二值虚拟？

越漂亮收入越高吗？这是一个很有意思的话题。Hamermesh 和 Biddle（1994）研究了相貌吸引力对工资的影响，国内的郭继强、费舒澜和林平（2017）也有做过类似的研究。在这项研究中，一个关键的问题就是相貌如何度量，相貌难以通过一个连续型变量刻画，但是容易分类，为了简便起见，我们可以将其分为不好看、一般水平和好看三类。

原文信息

[1]Hamermesh D S , Biddle J E . Beauty and the Labor Market[J]. American Economic Review, 1994, 84.

[2]郭继强,费舒澜,林平.越漂亮,收入越高吗?——兼论相貌与收入的“高跟鞋曲线”[J].经济学(季刊),2017,16(01):147-172.

一种思路就是使用一个序数变量 来表示相貌（不好看=1，一般=2，好看=3）。但是这么做有一个问题就是，我们很难解释 一个单位的变化，因为从 1（不好看）到 2（一般）所带来的工资的变化和从 2（一般）到 3（好看）所带来的工资的变化是一样的吗？
一种更好的做法就是使用多个二值虚拟变量，我们只需要设定一个基准组，其他组都和它进行比较就行了。例如，我们设定相貌一般为基准组，接下来只需要使用 和 两个虚拟变量就好了（ 个组只需 个虚拟变量。否则就又落入“虚拟变量陷阱”了）。
其中， 是表示不好看的虚拟变量（不好看=1，其他=0）， 是表示好看的虚拟变量（好看=1，其他=0）。

参数 的含义：在控制其他变量不变的情况下， 是相貌不好看的人与相貌一般的人之间的工资差异。
参数 的含义：在控制其他变量不变的情况下， 是相貌好看的人与相貌一般的人之间的工资差异。

参考资料

[1]陈强.高级计量经济学及 Stata 应用[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]杰费里·M·伍德里奇.计量经济学导论：现代观点[M].北京:中国人民大学出版社,2015.


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