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逻辑面试题:1+1=2最复杂的打开方式

IT服务圈儿 2022-09-11

The following article is from 小K算法 Author 小K算法

作者 | 小K

出品 | 公众号:小K算法 (ID:xiaok365)

01故事起源一个逻辑学教授,有三个学生,而且三个学生都非常聪明!  有一天教授给他们出了一个题:  
  • 教授在每个人脑门上贴了一张纸条
  • 每个人的纸条上都写了一个正整数,且某两个数的和等于第三个数
  • 每个人可以看见另两个数,但看不见自己的
教授问第一个学生:你能猜出自己的数吗?回答:不能。  问第二个,不能;第三个,不能。  教授再问第二次:  第一个,不能;第二个,不能;第三个,我猜出来了,是144!  教授很满意的笑了,请问你能猜出另外两个人的数吗?

02场景重现要破解这个问题,就要先扮演这个角色,我们来场景模拟一下,3个同学围绕站成一个圈。为方便描述,用下面的图形来表示。因为只能看到别人的数,看不到自己的,所以小K的视角是这样的。同样小A的视角是这样的。小B的视角是这样的。发现了什么规律吗,我们总结一下:  
  • 每个人自己的数只能是另两数之和或者之差,所以每个人都有2种可能。
  • 每个人都无法确认自己到底是哪一个,也不能从其他人那里得到更多信息。
因此,看上去貌似是个死局。  再仔细思考,既然只有2种可能,那能不能排除一种可能,这样只剩下另一种肯定就是正确答案了。关键是如何去寻找这个突破口呢?

03寻找突破口要排除不可能的解,必须要从边界入手,如果没有任何条件限制,那这就是一个无解的问题。
再回到问题描述,“每个人的纸条上都写了一个正整数”,这就是最关键的信息,它暗示了很多其它信息。如果有一个人计算出来的数不是正整数,那这一种情况就被排除。
这个数不可能是负数,因为2个不相等的数,一定是用大的减去小的,那剩下的非正整数就只能是0,也就是有2个数相等的情况。
假设小K看到的是这样的场景,那一定能猜到自己的数就是10。现在有了一点进展,但还是不够,因为2个数相等也只是一种巧合,大部分的时候,你看到的数都不相等,感觉还是很难走下去。先别想得太复杂,咱们来降维打击。

04从小规模分析关注小K很久的同学应该已经发现了,小K最喜欢用的手段,就是从小规模开始分析问题,再逐层推进。
如果2个数相等,抽象一下,不就是一个最简单的1+1=2的问题吗?
如果是下面这种情况,会在第1轮由第1人直接猜出。同样对于另外2个人也是一样,能在自己的轮次直接猜出。我们似乎已经解决了3种场景了,应该是走对了,继续往下推,再扩大数据规模。不过相等的我们已经列举完了,都可以归类为1+1=2的问题,那怎么推广到不等呢?

05第1人猜不出第1轮询问,如果第1人猜不出,对于后面的人来说给出了另一个信息,就是这3个数肯定不是(2,1,1),因为如果是(2,1,1)那第1人肯定就猜出来了啊。那怎么利用这个信息呢?
如果小A看到的场景刚好是这样,(2,y,1),那y不是1,肯定就是3了呀。总结一下前面的情况。

06第2人猜不出如果第2人猜不出,对于第3人来说,也给出了很多信息,说明一定不是(2,1,1),(1,2,1),(2,3,1)。如果第3人刚好看到的是(2,1,z),(1,2,z),(2,3,z),那就可以直接猜出。总结第1轮分别能被3人猜出的情况如下:而且我们发现,每一个人能猜出的情况,是由前2个人能猜出的情况迭代过来的。因为前面的人猜不出就排除了一种可能,只剩下另一种,自然能被后面的人猜出。

07第2轮如果第1轮第3人也没猜出,就会进入下一轮。
第2轮第1人能猜出的情况如下:同理第2轮第2人能猜出的情况如下:第2轮第3人能猜出的情况如下:回到开始的问题,第3个同学在第2轮猜出自己是144,所以上面的16个解中,第3个数字能整除144的,都是符合条件的解。
正确的解有5个:(3,1,4),(1,3,4),(2,7,9),(4,5,9),(3,5,8)。
对应的另外两个数分别是:(108,36),(36,108),(32,112),(64,80),(54,90)。

08任意情况比如为(98,27,71)的情况,根据上面的规律,最终还是会回归到1+1=2的问题。结论:  
  • 3个数要先约掉公约数,等比例的情况都是相同的
  • 任意情况,都会在有限轮次之后被某个人猜出来
  • 最先猜出来的人,一定是数字最大的人
  • 所有逻辑推理的根基都是1+1=2
  • 每多一轮,解的个数以斐波那契数列递增


09代码实现

9.1定义及初始化
struct Node {
    int x, y, z, level;
};
Node f[10000];
int last1, last2, tail;
void init() {
    f[0] = Node{2111};
    f[1] = Node{1212};
    f[2] = Node{2312};
    f[3] = Node{1123};
    f[4] = Node{2133};
    f[5] = Node{1233};
    f[6] = Node{2353};
    last1 = 3;
    last2 = 1;
    tail = 7;
}

9.2关键算法
// 第round轮,第person人,猜出自己是x
void solve(int round, int person, int x) {
    int n = (round - 2) * 3 + person, total;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        total = tail;
        for (int j = last2; j < total; ++j) {
            if (i % 3 == 0) {
                f[tail++] = Node{f[j].y + f[j].z, f[j].y, f[j].z, 4 + i};
            } else if (i % 3 == 1) {
                f[tail++] = Node{f[j].x, f[j].x + f[j].z, f[j].z, 4 + i};
            } else {
                f[tail++] = Node{f[j].x, f[j].y, f[j].x + f[j].y, 4 + i};
            }
        }
        last2 = last1;
        last1 = total;
    }
    for (int i = last1; i < tail; ++i) {
        int temp = 0;
        switch (person) {
            case 1:
                temp = f[i].x;
                break;
            case 2:
                temp = f[i].y;
                break;
            case 3:
                temp = f[i].z;
                break;
        }
        if (x % temp == 0) {
            int s = x / f[i].z;
            printf("(%d, %d, %d), level=%d\n", f[i].x * s, f[i].y * s, f[i].z * s, f[i].level);
        }
    }
}

9.3主过程
int main() {
    init();
    solve(23144);
    return 0;
}

9.4数据测试输出
(10836144), level=6
(36108144), level=6
(32112144), level=6
(6480144), level=6
(5490144), level=6


10总结第一眼看上去觉得简单,初步思考发现没有思路,感觉有难度,认真一步一步的分析下去,又会发现其实还是很简单,关键在于能否发现本质规律。这是一道极强的逻辑推理,大家一定要认真分析领悟,相信你可以学到很多的知识,打开思维模式。


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