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R语言logistic回归的细节解读
“医学和生信笔记，专注R语言在临床医学中的使用、R语言数据分析和可视化。主要分享R语言做医学统计学、临床研究设计、meta分析、网络药理学、临床预测模型、机器学习、生物信息学等。
💡专注R语言在🩺生物医学中的使用
R语言中的factor()函数可以把变量变为因子类型，默认是没有等级之分的（可以理解为无序分类变量nominal）！当然也可以通过添加参数ordered=T变成有序因子（等级资料，有序分类ordinal）。
二项logistic回归
因变量是二分类变量时，可以使用二项逻辑回归（binomial logistic regression），自变量可以是数值变量、无序多分类变量、有序多分类变量。
使用孙振球版医学统计学第4版例16-2的数据，直接读取。
为了探讨冠心病发生的危险因素，对26例冠心病患者和28例对照者进行病例-对照研究，试用逻辑回归筛选危险因素。
df16_2 <- foreign::read.spss("例16-02.sav",
to.data.frame = T,
use.value.labels = F,
reencode = "utf-8")
## re-encoding from utf-8
str(df16_2)
## 'data.frame': 54 obs. of 11 variables:
## $ .... : num 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ x1 : num 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 ...
## $ x2 : num 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ x3 : num 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 ...
## $ x4 : num 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ...
## $ x5 : num 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ...
## $ x6 : num 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
## $ x7 : num 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ...
## $ x8 : num 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 ...
## $ y : num 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ PGR_1: num 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
## - attr(*, "variable.labels")= Named chr [1:11] "" "" "" "" ...
## ..- attr(*, "names")= chr [1:11] "...." "x1" "x2" "x3" ...
数据一共11列，第1列是编号，第2-9列是自变量，第10列是因变量。
具体说明：
x1：年龄，小于45岁是1,45-55是2,55-65是3,65以上是4； x2：高血压病史，1代表有，0代表无； x3：高血压家族史，1代表有，0代表无； x4：吸烟，1代表吸烟，0代表不吸烟； x5：高血脂病史，1代表有，0代表无； x6：动物脂肪摄入，0表示低，1表示高 x7：BMI，小于24是1,24-26是2，大于26是3； x8：A型性格，1代表是，0代表否； y：是否是冠心病，1代表是，0代表否
这里的x1~y虽然是数值型，但并不是真的代表数字大小，只是为了方便标识，进行了转换，因此在进行logistic回归之前，我们要把数值型变量变成无序分类或有序分类变量，在R语言中可以通过factor()函数变成因子型实现。
# 变成因子型
df16_2[,c(2:10)] <- lapply(df16_2[,c(2:10)], factor)
str(df16_2)
## 'data.frame': 54 obs. of 11 variables:
## $ .... : num 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ x1 : Factor w/ 4 levels "1","2","3","4": 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 ...
## $ x2 : Factor w/ 2 levels "0","1": 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ...
## $ x3 : Factor w/ 2 levels "0","1": 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ...
## $ x4 : Factor w/ 2 levels "0","1": 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ...
## $ x5 : Factor w/ 2 levels "0","1": 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ...
## $ x6 : Factor w/ 2 levels "0","1": 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ...
## $ x7 : Factor w/ 3 levels "1","2","3": 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ...
## $ x8 : Factor w/ 2 levels "0","1": 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ...
## $ y : Factor w/ 2 levels "0","1": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## $ PGR_1: num 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
## - attr(*, "variable.labels")= Named chr [1:11] "" "" "" "" ...
## ..- attr(*, "names")= chr [1:11] "...." "x1" "x2" "x3" ...
需要注意的是自变量x1和x7，这两个应该是有序分类变量，这种自变量在进行逻辑回归时，可以进行哑变量设置，即给定一个参考，让其他所有组都和参考相比，比如这里，我们把x1变成因子型后，R语言在进行logistic回归时，会默认选择第一个为参考。
接下来进行二项逻辑回归，在R语言中，默认是以因子的第一个为参考的！自变量和因变量都是如此！和SPSS的默认方式不太一样。
f <- glm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8, data = df16_2, family = binomial())
summary(f)
##
## Call:
## glm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8, family = binomial(),
## data = df16_2)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.1727 -0.4719 -0.1409 0.5315 2.5914
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -5.46026 2.07370 -2.633 0.00846 **
## x12 0.85285 1.54399 0.552 0.58070
## x13 0.47754 1.59320 0.300 0.76438
## x14 3.44227 2.10985 1.632 0.10278
## x21 1.14905 0.93176 1.233 0.21750
## x31 1.66039 1.16857 1.421 0.15535
## x41 0.85994 1.32437 0.649 0.51613
## x51 0.73600 0.97088 0.758 0.44840
## x61 3.92067 1.57004 2.497 0.01252 *
## x72 -0.03467 1.13363 -0.031 0.97560
## x73 -0.38230 1.61710 -0.236 0.81311
## x81 2.46322 1.10484 2.229 0.02578 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 74.786 on 53 degrees of freedom
## Residual deviance: 40.028 on 42 degrees of freedom
## AIC: 64.028
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6
结果详解：
Deviance Residuals:表示偏差残差统计量。在理想情况下应服从正态分布，均值应为0。
在此例中，中位数的符号为负（-0.01406），表明整体向左偏移，中位数的大小表明偏移的程度。第一个四分位数（1Q）和第三个四分位数（3Q）为两侧“尾巴”分布的幅度。这里3Q大于1Q（绝对值），表明这个曲线是向右倾斜的。最大和最小残差可用来检验数据中的离群值。
结果中Estimate是回归系数和截距，Std. Error表示回归系数的标准误，z value是统计量值（z的平方就是Wald值），Pr(>|z|)是P值。
β值（这里就是Estimate）是指回归系数和截距（常数项），可以是负数（负相关时回归系数出现负值）；
OR是比值比（odds ratio），其取值范围是0至正无穷，不可能是负数；
Wald是一个卡方值，等于β除以它的标准误（这里是Std. Error），然后取平方（也就是z值的平方），因此也不可能是负数。Wald用于对β值进行检验，考察β值是否等于0。若β值等于0，其对应的OR值，也就是Exp(β)为1，表明两组没有显著差异。OR等于β值的反自然对数。Wald值越大，β值越不可能等于0。
结果中出现了x12/x13/x14这种，这是因为R语言在做回归时，如果设置了哑变量，默认是以第一个为参考的，其余都是和第一个进行比较，这也是R中自动进行哑变量编码的方式。
Null deviance:无效偏差（零偏差），Residual deviance:残差偏差，无效偏差和残差偏差之间的差异越大越好，用来评价模型与实际数据的吻合情况。
AIC：赤池信息准则，表示模型拟合程度的好坏，AIC越低表示模型拟合越好。
最后还有一个Fisher Scoring的迭代次数。
我们可以通过函数的方式分别获取模型信息。
# β值
coefficients(f)
## (Intercept) x12 x13 x14 x21 x31
## -5.46025547 0.85285212 0.47754497 3.44227124 1.14905003 1.66039360
## x41 x51 x61 x72 x73 x81
## 0.85994185 0.73600239 3.92067487 -0.03467497 -0.38230011 2.46321944
# β值
coef(f)
## (Intercept) x12 x13 x14 x21 x31
## -5.46025547 0.85285212 0.47754497 3.44227124 1.14905003 1.66039360
## x41 x51 x61 x72 x73 x81
## 0.85994185 0.73600239 3.92067487 -0.03467497 -0.38230011 2.46321944
# β值的95%可信区间
confint(f)
## Waiting for profiling to be done...
## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -10.3696980 -1.983104
## x12 -2.0317236 4.405067
## x13 -2.5429244 4.085370
## x14 -0.2319302 8.343123
## x21 -0.6458070 3.099838
## x31 -0.5431686 4.205175
## x41 -1.6713365 3.801261
## x51 -1.1846658 2.725051
## x61 1.3290533 7.677657
## x72 -2.3618580 2.224863
## x73 -3.8303437 2.725470
## x81 0.5105394 4.997352
# OR值
exp(coef(f))
## (Intercept) x12 x13 x14 x21 x31
## 0.004252469 2.346329320 1.612111759 31.257871683 3.155194147 5.261381340
## x41 x51 x61 x72 x73 x81
## 2.363023282 2.087573511 50.434470096 0.965919321 0.682290259 11.742555242
# OR值的95%的可信区间
exp(confint(f))
## Waiting for profiling to be done...
## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 3.136876e-05 0.1376413
## x12 1.311093e-01 81.8646261
## x13 7.863610e-02 59.4639513
## x14 7.930015e-01 4201.1887167
## x21 5.242393e-01 22.1943589
## x31 5.809047e-01 67.0323349
## x41 1.879956e-01 44.7576059
## x51 3.058484e-01 15.2571993
## x61 3.777465e+00 2159.5535363
## x72 9.424495e-02 9.2522177
## x73 2.170216e-02 15.2635868
## x81 1.666190e+00 148.0206875
这里x21的OR值是2.346329320，表示45~55岁的人群患冠心病的风险是小于45岁人群的2.346329320倍（对于因变量来说，现在是以没有冠心病为参考，你如果把因变量的0和1互换一下，就会发现系数正负号刚好相反），但是这个结果并没有统计学意义！
# Wald值
summary(f)$coefficients[,3]^2
## (Intercept) x12 x13 x14 x21 x31
## 6.933188870 0.305111544 0.089843733 2.661883233 1.520790277 2.018903576
## x41 x51 x61 x72 x73 x81
## 0.421615676 0.574682148 6.235929079 0.000935592 0.055890396 4.970577395
# P值
summary(f)$coefficients[,4]
## (Intercept) x12 x13 x14 x21 x31
## 0.00846107 0.58069555 0.76437591 0.10277898 0.21749994 0.15535128
## x41 x51 x61 x72 x73 x81
## 0.51613195 0.44840433 0.01251839 0.97559855 0.81311338 0.02578204
# 预测概率
fitted(f) # 或者 predict(f,type = "response")
## 1 2 3 4 5 6
## 0.375076515 0.110360122 0.069240725 0.023034427 0.905605901 0.491543165
## 7 8 9 10 11 12
## 0.049878030 0.151052146 0.104875967 0.009948712 0.208062753 0.046013662
## 13 14 15 16 17 18
## 0.009879122 0.497751927 0.500211100 0.074509703 0.023034427 0.105543397
## 19 20 21 22 23 24
## 0.359548891 0.441102099 0.048627400 0.734770361 0.366272916 0.009879122
## 25 26 27 28 29 30
## 0.049878030 0.366272916 0.009879122 0.101665098 0.995553588 0.950848767
## 31 32 33 34 35 36
## 0.712839656 0.995611072 0.216828996 0.984826081 0.543195397 0.905612594
## 37 38 39 40 41 42
## 0.868286980 0.993760333 0.868286980 0.034813473 0.902606657 0.966930037
## 43 44 45 46 47 48
## 0.375076515 0.964725296 0.840087511 0.818110300 0.881331876 0.676305952
## 49 50 51 52 53 54
## 0.780828686 0.555921773 0.986103872 0.816157300 0.466253375 0.655579178
# 偏差
deviance(f)
## [1] 40.02758
# 残差自由度
df.residual(f)
## [1] 42
# 伪R^2
DescTools::PseudoR2(f, which = c("McFadden", "CoxSnell", "Nagelkerke"))
## McFadden CoxSnell Nagelkerke
## 0.4647704 0.4746397 0.6331426
这里需要说明以下fitted(f)，也就是predict(f,type = "response")得到的结果是预测概率，范围是0-1之间的。
对于logistic回归来说，如果不使用type函数，默认是type = "link"，返回的是logit(P)的值。
# 默认返回logit(P)的值
predict(f)
# 返回概率
predict(f, type = "response")
模型整体的假设检验：
# 先构建一个只有截距的模型
f0 <- glm(y ~ 1, data = df16_2, family = binomial())
anova(f0,f,test="Chisq")
## Analysis of Deviance Table
##
## Model 1: y ~ 1
## Model 2: y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
## Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi)
## 1 53 74.786
## 2 42 40.028 11 34.758 0.0002716 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
P<0.001，说明我们的模型是有意义的。
逐步回归法的logistic回归，可以使用step()函数：
# 向前
f1 <- step(f, direction = "forward")
## Start: AIC=64.03
## y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
summary(f1)
##
## Call:
## glm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8, family = binomial(),
## data = df16_2)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.1727 -0.4719 -0.1409 0.5315 2.5914
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -5.46026 2.07370 -2.633 0.00846 **
## x12 0.85285 1.54399 0.552 0.58070
## x13 0.47754 1.59320 0.300 0.76438
## x14 3.44227 2.10985 1.632 0.10278
## x21 1.14905 0.93176 1.233 0.21750
## x31 1.66039 1.16857 1.421 0.15535
## x41 0.85994 1.32437 0.649 0.51613
## x51 0.73600 0.97088 0.758 0.44840
## x61 3.92067 1.57004 2.497 0.01252 *
## x72 -0.03467 1.13363 -0.031 0.97560
## x73 -0.38230 1.61710 -0.236 0.81311
## x81 2.46322 1.10484 2.229 0.02578 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 74.786 on 53 degrees of freedom
## Residual deviance: 40.028 on 42 degrees of freedom
## AIC: 64.028
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6
# 向后
f2 <- step(f, direction = "backward")
## Start: AIC=64.03
## y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x7 2 40.086 60.086
## - x1 3 43.933 61.933
## - x4 1 40.466 62.466
## - x5 1 40.605 62.605
## - x2 1 41.600 63.600
## <none> 40.028 64.028
## - x3 1 42.196 64.196
## - x8 1 46.365 68.365
## - x6 1 50.469 72.469
##
## Step: AIC=60.09
## y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x1 3 44.541 58.541
## - x5 1 40.611 58.611
## - x4 1 40.814 58.814
## - x2 1 41.616 59.616
## <none> 40.086 60.086
## - x3 1 42.747 60.747
## - x8 1 47.255 65.255
## - x6 1 51.415 69.415
##
## Step: AIC=58.54
## y ~ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x5 1 45.746 57.746
## - x4 1 45.779 57.779
## - x3 1 45.853 57.853
## <none> 44.541 58.541
## - x2 1 46.763 58.763
## - x8 1 50.136 62.136
## - x6 1 54.588 66.588
##
## Step: AIC=57.75
## y ~ x2 + x3 + x4 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x4 1 47.537 57.537
## <none> 45.746 57.746
## - x2 1 48.470 58.470
## - x3 1 49.083 59.083
## - x8 1 51.976 61.976
## - x6 1 56.634 66.634
##
## Step: AIC=57.54
## y ~ x2 + x3 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## <none> 47.537 57.537
## - x3 1 50.276 58.276
## - x2 1 51.418 59.418
## - x8 1 53.869 61.869
## - x6 1 59.649 67.649
summary(f2)
##
## Call:
## glm(formula = y ~ x2 + x3 + x6 + x8, family = binomial(), data = df16_2)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.2486 -0.7361 -0.3070 0.6264 1.9791
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -3.0314 0.8965 -3.381 0.000722 ***
## x21 1.4715 0.7656 1.922 0.054617 .
## x31 1.2251 0.7543 1.624 0.104359
## x61 3.6124 1.3391 2.698 0.006985 **
## x81 1.8639 0.8045 2.317 0.020505 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 74.786 on 53 degrees of freedom
## Residual deviance: 47.537 on 49 degrees of freedom
## AIC: 57.537
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 5
# 步进法
f3 <- step(f, direction = "both")
## Start: AIC=64.03
## y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x7 2 40.086 60.086
## - x1 3 43.933 61.933
## - x4 1 40.466 62.466
## - x5 1 40.605 62.605
## - x2 1 41.600 63.600
## <none> 40.028 64.028
## - x3 1 42.196 64.196
## - x8 1 46.365 68.365
## - x6 1 50.469 72.469
##
## Step: AIC=60.09
## y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x1 3 44.541 58.541
## - x5 1 40.611 58.611
## - x4 1 40.814 58.814
## - x2 1 41.616 59.616
## <none> 40.086 60.086
## - x3 1 42.747 60.747
## + x7 2 40.028 64.028
## - x8 1 47.255 65.255
## - x6 1 51.415 69.415
##
## Step: AIC=58.54
## y ~ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x5 1 45.746 57.746
## - x4 1 45.779 57.779
## - x3 1 45.853 57.853
## <none> 44.541 58.541
## - x2 1 46.763 58.763
## + x1 3 40.086 60.086
## + x7 2 43.933 61.933
## - x8 1 50.136 62.136
## - x6 1 54.588 66.588
##
## Step: AIC=57.75
## y ~ x2 + x3 + x4 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## - x4 1 47.537 57.537
## <none> 45.746 57.746
## - x2 1 48.470 58.470
## + x5 1 44.541 58.541
## + x1 3 40.611 58.611
## - x3 1 49.083 59.083
## + x7 2 44.697 60.697
## - x8 1 51.976 61.976
## - x6 1 56.634 66.634
##
## Step: AIC=57.54
## y ~ x2 + x3 + x6 + x8
##
## Df Deviance AIC
## <none> 47.537 57.537
## + x1 3 41.625 57.625
## + x4 1 45.746 57.746
## + x5 1 45.779 57.779
## - x3 1 50.276 58.276
## - x2 1 51.418 59.418
## + x7 2 46.792 60.792
## - x8 1 53.869 61.869
## - x6 1 59.649 67.649
summary(f3)
##
## Call:
## glm(formula = y ~ x2 + x3 + x6 + x8, family = binomial(), data = df16_2)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.2486 -0.7361 -0.3070 0.6264 1.9791
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -3.0314 0.8965 -3.381 0.000722 ***
## x21 1.4715 0.7656 1.922 0.054617 .
## x31 1.2251 0.7543 1.624 0.104359
## x61 3.6124 1.3391 2.698 0.006985 **
## x81 1.8639 0.8045 2.317 0.020505 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 74.786 on 53 degrees of freedom
## Residual deviance: 47.537 on 49 degrees of freedom
## AIC: 57.537
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 5
按照步进法最终纳入的自变量是x2,x3，x6,x8。
参考资料
https://blog.csdn.net/weixin_41744624/article/details/105506951 https://zhuanlan.zhihu.com/p/113403422 https://duanku.pai-hang-bang.cn/kuzi_1046977453210716059 https://bookdown.org/chua/ber642_advanced_regression/ https://peopleanalytics-regression-book.org/
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