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沃尔夫奖得主伊藤清:我是如何开始概率论研究的?

伊藤清 返朴 2023-11-12

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日本数学家伊藤清教授因在概率论方面的奠基性工作而获得了1987年的沃尔夫奖,并于1998年获得京都奖,2006年获得首届高斯奖。


伊藤清的工作集中于概率论,特别是随机分析领域,他被誉为“现代随机分析之父”,因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展,还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。


在其思想文集《世界是概率的》一书中,伊藤清回顾了自己早年是如何开始研究数学,尤其是深入研究概率论的。







撰文 | 伊藤清


日本数学家伊藤清(Kiyoshi Ito,1915年9月7日-2008年11月10日),因在概率论方面的奠基性工作被授予1987年的沃尔夫奖。







刻骨铭心的话语


那是在我上小学一二年级时候的事情。我的朋友 I 有一个在高等女子中学(相当于现在的初中)读书的姐姐。她的成绩非常优秀,是我崇敬的对象。或许我也曾向她请教过复杂汉字的读法等学习方面的内容吧,不过我一点印象也没有。但她对我说过的一句话,在 55 年后的今天,依然清晰地刻在我的心中。有一次她问我哲学是什么,我自然回答“不晓得”,而后她给我看了字典,说:“哲学是一门研究宇宙的原理与法则的学问。”我不认为当时只有小学一二年级的自己可以读懂这些字,更不要提理解这句话的意思了,但这些都没有妨碍它成为我一生都无法忘却的一句话。进入(旧制)中学之后,虽然我知道了这句话中每个字的写法,但第一次写下这句话,却是在写这篇文章的时候。
当时的中学课程中并没有开设哲学这个科目,可上了高中(旧制八高)后,哲学则成为学生们之间的潮流文化。笛卡尔、康德、叔本华、马克思、唯心论、唯物论、观念论等哲学之谈不绝于耳。文科生中不乏有研读康德《纯粹理性批判》德语原版书的热忱之士。我也难免卷入这哲学的旋涡中,与别人激烈地进行讨论。但坦白讲,哲学青年之间的讨论太过主观和注重精神层面,有些形而上。作为理科生,我感觉这类东西无法真正满足我的内心。我下意识地觉得,I 的姐姐所说的“研究宇宙的原理与法则的学问”,是一种更加客观的哲学,那样的哲学才是我想学习的。
我第一次触碰到类似“研究宇宙的原理、法则的学问”,是我在高中三年级和大学(东京大学理学部数学专业)学习“牛顿力学与微积分的关联”的时候。落体运动、抛体运动、天体运动,全部可以依据牛顿三大运动定律和万有引力定律,通过解微分方程确定下来。我感慨万千,这不就是“研究宇宙的原理与法则的学问”吗?宇宙虽然是包括自然界、人类世界等森罗万象的总称,但直观上的宇宙总是让我们想到繁星闪烁的无穷空间。如果说无数星体的运动都遵从牛顿的微分方程,那微分方程就是 “宇宙的原理与法则”吧。后来,当了解到流体力学、电磁学也可以用偏微方程来描述,我便确信数学就是我在追寻的“研究宇宙的原理、法则的学问”。
然而,当时数学的主流是抽象的纯粹数学,即研究数学概念的逻辑结构。像 18 世纪、19 世纪那样,去研究宇宙的原理与法则的数学,则是数学界的支流。虽然我对纯粹数学也有兴趣,但是总觉得纯粹数学无法带给我牛顿力学曾给予我的那种感动。当时的热力学、统计力学,像理论物理学的其他领域一样,还没有从数学上得到系统性整理。这是因为与这些领域密切相关的数学手段——概率论尚未得到充分发展。我大学毕业时,概率论终于具备了大致的数学形态,我也对这方面的研究产生了浓厚的兴趣。我隐约感觉,这个领域能够实现 I 的姐姐所说的“哲学”。就这样,随机过程论成了我的研究方向。幸运的是,这一理论后来引起了数学家的普遍关注,在 40 年间获得飞跃性发展,而我也在这个过程中享受着研究的乐趣。我大学毕业不久后,就走上了随机微分方程的研究道路,我想这也是 I 的姐姐那句话的指引吧。
数学分为纯粹数学与应用数学。纯粹数学的着力点在于研究数学概念的逻辑结构。应用数学,我认为是为了描述“宇宙的原理、法则”而构建出的数学。在我的研究过程中,我愈发感受到这一点,并觉得应用数学应该称为“数理科学”或者“数理解析学”。
仔细想来,“研究宇宙的原理与法则”这种客观的态度,并不属于哲学家,而属于数理解析学研究者。哲学的考察包括主观、客观,是一种内面性的东西。我高中时期遇到的那些哲学青年,他们的哲学就是这种意义上的哲学。I 的姐姐告诉我的那种“哲学”,与其说是哲学,不如说是“数理解析学”。我从“哲学”“纯粹数学”之间跋涉而来,终于找到了“数理解析学”之路。现在,我在京都大学的数理解析研究所工作,想必这也是 I 的姐姐那句话在我心底生根的结果吧。
与 I 的姐姐的那次对话后,我们就没有再见过面。根据我的年龄来计算,她应该已近古稀之年。最近,我参加了一次中学的同学会,偶然得知她是同学会会长 W 的妻子。时隔 55 年,我们在电话中再次对话,彼此都产生了一种莫名的怀念之情。那个时候,她给我看的辞典是《言海》。我找来当年那一版《言海》,翻看“哲学”词条的释义,结果发现辞典中并没有“研究宇宙的原理与法则的学问”的描述。如此想来,那应该是她用自己的话给出的解释,而我就是跟随那句话的指引,一直在研究的道路上前行,真是令人无限感慨。





数学研究刚刚起步的岁月


1938 年,我从东京大学理学部数学专业毕业。从这一年到我获得名古屋大学助教职位的 1943 年,我居住在东京,就职于大藏省内阁统计局。我的数学研究正是起步于这 5 年。
乍一看杂乱无章的现象中蕴藏着统计法则这一事实,自学生时代就十分吸引我,我有一种模糊的感觉,这类问题要靠概率论这一数学分支来解决。于是,我从大三便开始阅读概率论相关的论文和著作,在此过程中,渐渐掌握了统计法则中的数学本质。只是当时的研究对于随机变量这个基本概念只做了直观说明,并没有给出明确的定义,难免给人一种不足的感觉。
基于严密的定义创建数学体系在现在看来是理所应当的,但这一理念覆盖整个数学领域还是最近的事。即使是微积分学,也是在 19 世纪末严密定义了实数之后,才称得上是一个现代数学体系。我有幸学习了这一体系下的微积分学课程。但是,当时概率论相关的论文和著作,并不是在这样的现代数学的角度下完成的。按微积分学的发展来类比的话,这些论文和著作还停留在 19 世纪。
我在烦恼该如何定义随机变量这一概率论的基础概念时,发现了苏联数学家柯尔莫哥洛夫所著的《概率论基础概念》一书。其实,在大一时我就曾在丸善书店看到过这本书,但当时我对它毫无兴趣。大学毕业后再次与这本书相遇时,我便知道它能满足我的求知欲,于是一口气把它读完了。书中将随机变量定义为概率空间中的函数,通过引入测度论尝试将概率论体系化。站在这个全新的角度后,一直以来朦胧不清的东西就如拨云见日一般明朗起来,由此我也确信概率论确实是现代数学的一个分支。

苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov,1903年4月25日-1987年10月20日),对概率论公理化所作出的贡献巨大。图源:维基百科


打好基础后,接下来便是概率论的内容了。当时大部分的研究将重点放在了统计法则的数学分析上,研究独立随机变量序列的行为。拿微积分学来说,这部分内容就好比级数理论。当然概率论的内容更难,也更丰富,但与当时数学中的其他分支比起来还是略显单薄,让人难以全情投入。
我对概率论的内容真正产生兴趣是在拜读了法国数学家保罗·皮埃尔·莱维(Paul Pierre Lévy)在 1937 年提出的关于独立随机变量之和的理论之后。该理论是向随机过程(概率论中的一个概念,相当于微积分学中的函数)的正式研究迈进的一大步,我从中找到了新概率论真正的本质,决定倾尽全部深入研究。

法国数学家莱维(Paul Lévy,1886年9月15日-1971年12月15日),是概率论和随机过程理论的开创者之一。图源:维基百科


如同大多数开拓者所做的工作那样,莱维的理论中有很多地方也是凭直觉来叙述的,晦涩难懂。我使用美国数学家杜布(Doob)引入的正则化这个概念,试图将莱维的理论以柯尔莫哥洛夫式的严密的叙述风格来改写。经过诸多尝试,我最终实现了这个目标。这就是我最初发表的论文,现在大家已经习惯用我的方法来叙述莱维的理论了。

美国数学家杜布(Joseph Doob,1910年2月27日-2004年6月7日)的研究主要包括概率论、复函数、遍历理论和公理势理论等。图源:美国数学学会


莱维的理论虽是针对独立增量过程的研究,但以此为起点,我也开始逐渐研究一般化的马尔可夫过程。在这些研究中,柯尔莫哥洛夫的研究与偏微分方程有很深的关联,这一点着实吸引着我。我想将这个研究,按莱维对独立增量过程的理解,整理成自己可以接受的形式。在思考过程中,我找到了随机微分方程这一方式。这是我后面研究的出发点,也是我现在仍在研究的内容。论文在最初发表时并未受到太多关注,但从十几年前开始,不断有研究者为这个理论的发展做出贡献,现在它已成为概率论中非常重要的部分。
我一直贯彻着按自己的做法解决自己想研究的问题这样的态度,只因自己的性格就是如此,所以没少走弯路,也时常苦于无法很快拿出成果。在摸索的过程中支撑着我的,便是我的恩师弥永昌吉先生。

日本数学家弥永昌吉(Shokichi Iyanaga ,1906年4月2日-2006年6月1日)对培养日本数学界年轻一代有着重要贡献,他对主要学生有菲尔兹奖得主小平邦彦、首届高斯奖得主伊藤清、岩泽理论的岩泽健吉等。图源:维基百科


弥永老师虽致力于数论的研究,但也拥有纵贯数学整体的广阔视野。在研究还未成型的阶段,即使我只将腹案告诉弥永老师,老师也会悉心听取,并给我很好的启发。有时他还会勉励我说:“你有自己想要解决的问题,有自己想创立的体系,这一点非常好。”若是没有这些饱含温情的话语,我恐怕已然受挫。借此机会,我也想向恩师表达最诚挚的谢意。
↓↓↓扫码可购书注:本文摘自《世界是概率的》(【日】伊藤清 著,刘婷婷 译,人民邮电出版社 出版,图灵新知 出品,2023年3月 出版)一书。

本文经授权转载自微信公众号“图灵教育”。


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