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PID系统稳定性与零极点的关系

菜刀和小麦 小麦大叔 2022-08-22

背景

PID是十分优美的控制算法,在工业控制应用地十分广泛,有的时候,无需知道系统模型的情况下,只要经验法去调整参数P参数I和、参数D就可以到达期望的控制效果;

不过之前一直停留在把系统当作黑盒的方式进行调试,根据系统的时间响应判断是否达到期望的效果;

以前参与无人机研发的时候,我们遇到一个问题,外部的扰动会把飞控激励起来造成机身的振动;

要解决掉的话,如果调飞控,又会对云台造成影响,最终航拍效果不太好;

我们尝试了很多工程方法,花了大量时间,都无法解决;这个项目看样子是要黄了;

后来飞控负责人和云台负责人激烈讨论,在白板上画伯德图,讲起相位裕度,幅值裕度;你的系统挪一下频谱,给我留出更多的余量;退一步海阔天空;

很神奇,后来问题就顺利解决了,项目顺利上线;

所以我感觉有必要对部分的知识点进行复习和简单的扫盲,因为尝试从数学角度对系统性能进行分析,会涉及到,系统建模,零极点,稳定性,基本差不多还给老师了,所以这里不会太深入。

线性时不变系统

通常来说,对于上述的零点和极点的分析,前提是系统需要是LTI系统(linear time-invariant system);这里简单介绍一下,对于这种系统有两点:1 线性;2 时不变;

线性

对于系统,任意输入X,最终系统输出得到Y

那么如果输入为K*X,那么最终输出为K*Y

例如:

系统增益为100;

即输入5可以得到输出5*100

那么输入5*K,可以得到输出5*K*100

叠加性

如果系统输入X可以得到输出结果f(X),如果X=a+b;

那么必须存在 f(X) = f(a) + f(b);

时不变

系统中,输入信号X,则得到输出信号Y,那么一个经过了延迟T的输入信号X,得到的输出信号也只是一个被延迟T的Y,而不会是其他值;

也就是说X(t-T)的输出就是Y(t-T)

什么是零点和极点?

在数字信号处理或者控制理论中,对于输入量和输出量,可以表示为:

如果对于进行拉普拉斯变换,那么可以得到:

对于连续系统,需要进行拉普拉斯变换变换,则从时域变换到频域;

对于离散系统,则需要进行z变换;

输入,输出以及传递函数的关系如下所示;

传递函数

零点

上述公式中,存在使得的解,即分母的解;

极点

上述公式中,存在使得的解,即分子的解;

举例

假设存在传递函数;

则零点为

极点为

系统的稳定的条件

从时域角度来讲:

系统的稳定与否却决于,当,系统输出最终收敛,则认为系统是稳定的;具体如如下所示;

收敛

或者结论可以是这样子的;

稳定性判断:在零初始条件下,当且仅当,闭环系统的单位冲激响应为零时,系统是稳定的。

这里又引入了单位冲激响应什么是冲激响应?

顾名思义,冲激响应,一定是一个函数,可以想象一下,感觉形状和火柴及其相似;

这画面感很强,具体如下所示;

单位冲激响应

所以在这里我们将上面的进行时间T进行离散化,具体如下图所示;

所以这里我们可以发现,可以通过单位冲激响应进行幅值变化相位移动来表示

实际上,我们根本只需要让这些信号都输入系统,前面讲到过线性时不变

所以我们只需要让这些信号(1,2,3....n)中的任意一个信号进行归一化(单位冲激响应);

对齐到t=0时刻,再对输出乘以不同系数,延迟不同时间,就得到了所有的输出.

好像有点扯远了;

所以结论成立:在零初始条件下,当且仅当闭环系统的单位冲激响应为零时,系统是稳定的;

从频域角度来讲:

对于高阶系统无法求时域响应的时候,这时候就需要从闭环传递函数的零极点进行分析,从而判断系统的稳定性;

通常来说:闭环系统的闭环传递函数的极点都在S平面的左半平面,则系统稳定;

所以极点为-2,-3,在左半平面,所以系统稳定;

这里和时域上稳定性的结论如何联系起来呢?

经过拉普拉斯反变换:

在这里不难发现,从时域的角度看,当收敛;

所以闭环传递函数的极点位置在S平面的左半平面,系统稳定;

根据零极点判断系统稳定性的方法还有以下几种;

  1. 劳斯稳定性判据;
  2. 赫尔维茨稳定性判据;
  3. 伯德图稳定性判定法(频响);
  4. 奈奎斯特稳定性判据(频响);

结论

简单介绍了LTI系统,系统传递函数和传递函数的零极点定义,以及时域上系统稳定性和S域的稳定性之间的关联;

有点难,为了头发,暂时先到这里吧。

由于作者能力和水平有限,文中难免存在错误和纰漏,请不吝赐教。


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