如果我们想在学校培育优良的法语老师，是不是该要求他们在大学学习拉丁文，而非法文？毕竟拉丁文是法文的源头，语言结构也比法文复杂，精通这种更为复杂的语言，老师应该可以更懂他们在中学时代学过的法文。如果我们想观察老师的法文学识和学生成绩之间的关联性，只要看看老师的拉丁文成绩就好！

尽管上述情景听来荒谬，但在数学师资培育上，直到 2011 年的现状却与此相去不远。一个自然出现的问题是，为什么数学界要烦恼教育问题？答案是我们每年在微积分课堂上面对的大一生，乃至数学研究所的研究生，都是这种教育思维的产物。本文的目的是在提醒学界，当前的教育事业亟需数学界的主动参与，希冀能唤起大家的行动。我们首先会回顾过去四十年来数学师资培育的状况，接着指出要如何才能增进数学老师的学科知识（content knowledge），以及为何需要学识丰富的数学家积极投入。

贝格的早期研究

没人会对数学教育的进步仰赖培育好老师的说法持疑。一般咸认的「自己不会的东西，不可能教得好」的想法，正足以说明需要培育具有坚实数学背景的老师。然而数学教育体制无论在实习老师或在职老师的阶段都未专注于他们的专业养成，部分原因是对老师究竟需要知道什么还未有定论。「教育家」【注：我在本文使用「教育家」指称大学里的数学教育（系）教师】似乎很乐意让数学社群决定中学老师需要知道的东西，自己则只负责小学老师的养成。对于前者，「拉丁文 / 法文症候群」屡见不鲜。数学家让中学老师学习准数学研究者需要学习的高等数学，然后期望在「学识下渗」（Intellectual Trickle-Down Theory）【译注：下渗（或译涓滴）一词借自经济学，指让富人更有钱，穷人亦终将受惠的主张，这里有讽刺的味道】的长期作用下，这些老师最终会获得在教学现场需要的知识。至于小学老师，他们所接受的数学教育品质通常有待加强：数学家对于培育数学老师最常使用的教科书的负面评价（[NCTQ]，34-37 页及 76-81 页），正足以说明小学老师养成教育的窘境。

当然，一个相关的议题是数学老师的学科知识和学生的表现究竟有无关联。早期曾尝试找出个中奥秘的研究者之一是贝格（Edward G. Begle），他是「学校数学研究小组」（School Mathematics Study Group）的主持人，这个小组因 1955-1975 实施的「新数学」（ New Math）而为人熟知。1972 年，在一项针对 308 位教导「第一年代数」的中学老师的研究中（[Begle 1972]），他让老师和学生都参与一项选择题测试，以量度老师知识和学生学习成就的关联性。大体来说，他发现「几乎没有实证可支持老师的数学训练会提高学生数学成就的说法」。接着，他调查数学教育研究的实证文献，再次确认当时的证据无法支持「一个人对其科目了解越深，就越能当个称职的老师」的想法。（[Begle 1979] 51 页）

贝格 1972 年的研究最为人所知的，是质疑数学学科知识和教学成效之间的关联性，但仔细检视这份报告很有助益。贝格对老师做了两次测验，一次是关于实数系的代数，另一次则是关于群（group）、环（ring）、体（field）的抽象代数层次。经由分析测验的结果，贝格得到：

... 老师是否了解近世代数（群、环、体），对于学生学习代数运算或九年级代数的成就并没有显著的相关性。... 然而，老师对于实数系代数的理解，确实与学生是否理解九年级代数呈现显著的正相关。（[Begle 1972], 原文 8 页）

从这些发现，贝格提出了两点独具慧眼的建议：

老师的近世代数成绩和学生的学习成就间不显著的相关性，暗示我们不需要强压老师学习那些和所教课程无关的知识。而老师实数系成绩和学生九年级代数间尽管不大的正相关，也提醒我们应当让老师对于他们要教的课程有扎实的理解 ...（出处同上）

可惜的是，贝格并没有遵从自己的建议。否则的话，这篇文章也不需要面世了。且让我仔细陈述。贝格研究的中学老师，传统上在大学里需完成相当于数学系主修的课程。然而，数学主修课程的目的主要是让学生具有进研究所深造的能力，因此其中充满了「和（老师）日后教学内容没有直接相关的课程」 。早在 1972 年，贝格即已隐约发现中学老师培育中的重大缺失，亦即他们学到的资讯对于工作没有直接帮助。换句话说，我们等于是教法文老师拉丁文，然后希望他们将来很会教法文。贝格的第二个建议则暗示他了解与此互补的另一件事实，亦即中学老师真的需要能让他们更扎实了解教学内容的课程。

教师专业养成的基本准则

自贝格之后，不少人接续他的研究，特别是 [Goldhaber-Brewer] 及 [Monk]，但与本文最相关的是波尔（Deborah Ball）的研究。她在贝格研究的二十年后，讨论小学老师需要的数学知识。她对中小学老师的调查发现，即使是数学系毕业的老师，也未必能以数学上和教学上的恰当方式，解释诸如分数除法（五或六年级的基本主题）的基本观念。她的结论是「老师的教材训练（subject matter preparation）几乎从来不是师资教育任何一个阶段的重点」。（[Ball] 465 页）

几年之后，因为参与加州数学计划（California Mathematics Project）的缘故（见 [Wu1999c]），我注意到数学老师对于学科知识的欠缺，并从理论的角度申论，大学培育准数学师资的方法亟需改进（[Wu1999a] [Wu1999b]）【注：我很希望当时就知道贝格和波尔的研究，可惜事实并非如此】。我的结论和贝格及波尔完全一致，在此以更精要的语句陈述如下。为了让教学更有成效，我们必须提供老师满足下列两个条件的数学知识：

（Ａ）它应该与教学相关，不致偏离授课内容太远。 

（Ｂ）它应该与数学基本原理一致（见 78 页）。

本文后续将会详细解释这两点。

大学的有理数教学无益于小学生

这两项对于师资培育的要求几乎是彼此矛盾的，而最能阐明此一矛盾的就是分数的教学。尽管分数现在有时早在二年级就提到，它最重要的内容则是排在五年级到七年级间，而学生学习分数的困难在美国社会是路人皆知【注：要明白这点，只消看看《史努比》（Peanuts）和《福斯一家》（FoxTrot）两部漫画】。因此我们会集中探讨五到七年级的分数教学。

对于中小学时代只有模糊记忆的数学家，或许会纳闷为什么负责教这些年级的老师必须具有切合学生程度的分数知识。有序整数对的等价类有什么难懂的？让我回顾一下大学数学课是怎么教分数的。

按照惯例，以 表示整数，并让 表示有序整数对 的子集，其中包含形如 的元素，而且 。引入 中的等价关系 ，当 时，定义 。现利用 表示 中 的等价类。称所有形如 元素构成的集合为有理数 。再把 与形如 的元素构成的集合等同起来，于是就有 。最后我们定义 上的加法和乘法，将它变成一个环 ：

当然，我们会例行的检查这些定义和等价关系的相容性。这些是通常两三堂课教给数学系学生的内容，无庸置疑这和数学基本原理一致。问题是对五到七年级的学生，数学老师能用这些资讯做什么？大概什么都不行。

让我们再分析一下这个定义：这需要理解将 分割成等价类的概念，并能将每个等价类当作一个元素。光是获得这样的理解，对数学新生来说已是迈出一大步。此外，了解 与 是等同的；或者说，自 到 的单同态（injective homomorphism），则需要更高层次的精熟。

上面的讨论对于 10 到 12 岁的学生自然难以理解，但更麻烦的是有理数加法和乘法的定义。例如在定义加法之后考虑乘法，将它定义成 很合理，因为我们想在 上引入环的结构，而这是最明显又有效的方式。但我们能向一般小学生解释说，因为环很重要，所以这个乘法定义是「正确」的吗？若是如此，那么按照学生的梦想，定义 又有什么不对呢？

在 1930 年代将有理数视为有序整数对之前，学校早就存在了，而分数是必教的学校课程，可想而知老师长久以来肯定学到了某种不同版本的分数。但这种版本的数学并没有假装在教数学。至少就这个例子，我们为了让学校教学得以维持付出了庞大的成本，代价就是牺牲了数学基本原理。

复杂而混乱的分数教学

数学仰赖精确与明文的定义，但小学老师所学习的分数概念几乎「没有」定义可言。下面是个典型的例子。分数同时表达三个概念：全体的部分、比和除法。因此当全体被平分成 份，其中的 份就用 表示。因为「全体」是什么并不清楚，教育文献通常依赖比喻来进行。「全体」的原型就「像」一个披萨。但是把一个披萨平分成 份，是照形状分？照重量？还是面积？教育文献并没有说明。再者，两片披萨要怎么相乘或相除？[Hart]

至于将分数当作比时， 可以表示「比的情境」，像是每 位男孩就有 位女孩。男女孩和披萨之间有什么逻辑连结吗？教育文献在这点依旧毫无着墨，只明确要求五年级生最好能对分数有这样的概念理解，知道它同时代表两种意义。

最后， 还代表「 除以 」。这句话有「许多」错误。首先，当学生学分数时，他们要不还在学自然数【译注：whole number 指自然数加上 ，硬译只能译成很专业的「非负整数」。为了行文简单，在不影响文意下直接译成「自然数」】除法，不然就是刚学完。在后者的情况，学生只有当 是 的倍数时，将 视为平分或测量【编注：平分和测量是除法的两种基本情境。测量亦称「包含除」或「分装」，例如 公尺的绳子，每 公尺剪一段，可剪成几段？】。如果 不是 的倍数，学生学到的是带余除法， 产生「两个」数——商和余数。因此说 是「单一」的数，对学分数的学生来说是全新的观念。而且，用 来定义 在数学上是惊人的曲解。事实上，只有在「全体的部分」有良好定义，且 对所有自然数 、 也有良好定义时，我们可以证明 。然而，教育文献中并未提及这点，而且这种「缺乏论证」的内容充斥在分数的教学中。

这样的专业养成，使得小学老师普遍要求学生相信有种神秘的量叫做「分数」，具有三种毫不相干的性质。然后要求他们用同等神秘的方式计算这些神秘的量。当两个分数相加时，先取分母的最小公倍数，然后再对分子做些不寻常的操作以得到结果。至于这种分数加法和普通自然数加法代表「把东西合起来」的解释，到底两者为何相关，如何相关，没有丝毫解释。

请注意我们现在谈的是小学老师的「数学」教育。我们教老师数学，让他们透过适当的教学修整后，可以把这些观念教给中低年级学生，而且在几乎不做任何修改下，还可以继续教给高年级。老师要怎么教五到七年级的学生分数加法呢？如果分数 被定义为数线上的一点，两分数 和 的和，依照定义便是区间 与 头尾相连的长度和，就像自然数加法一样。依照这种方式，分数相加便又是「把东西合起来」了。一点简单的推导就能得到 （[Wu2002] 46-49 页）。

接着考虑除法。分数除法的死背教学是完全漠视数学基本原理的代表性例子。因此才会产生这样的口诀：「别管原因为何，颠倒相乘即可。」最近对于这种死背教学的一项回应，是模仿自然数相除的教学法，用「连减」来教分数相除。不幸的是，在体中的除法概念和欧氏整域（Euclidean domain）的除法算则不能混为一谈，结果只是把先前有缺陷的数学教学，换成另一个也有缺陷的数学教学。这种转换发生的状况，在最近中小学数学教育中似乎 已变成常态。

从任何知性的努力角度，出现这样的危机，自然要寻求更多的研究，并注入新想法来解决问题。目前我们欠缺的，是既能满足学生认知发展，又不会牺牲精确定义、推理和数学一贯性的分数教学法的教育研究。（关于现有研究文献的简要讨论，可参阅 [Wu2008a] 33-38 页）

为了改进分数教学，首先需要写出一本教科书，以条理一贯的方式来处理这个主题，它必须动之以理，而非教条。近二十年来，已有一些实验循此方向进行，但从现在的观点来看，这些实验都不成功。一个比较简单的任务是编写培育小学师资的教材，其内容要浅显到能用来教导五至七年级的学生。这需要一种不同的分数数学的表征（representation），有别于前述那种数学不一致的教学法。一个已经完成的教学法，是将分数明确定 义为数线上的一点（[Jensen] [Wu2002]）。小学老师学的是否这种分数教学法并非重点，重点是他们学到的版本符合先前提及的条件（A）和（B），如此他们才能在教学现场教学生正确的数学。期待老师自己建立符合（A）、（B）条件的知识极为不切实际。

我们再用两点评论，进一步说明为何需要特别强调教学的特殊知识。目前学生学习分数的一大绊脚石，便是分数被当成和自然数截然不同的数来教学。例如，有人认为「学童必须接受的分数新法则，时常和他们原本熟悉的自然数观念冲突。」（[Bezuk-Cramer] 第 156 页），这里的法则应该是指算术的法则，若然，我们可以很肯定的说，自然数和分数有着完全平行相应的算术法则，而两者间的相似性正是我在 [Wu2002] 中强调的重点。

对于 是 的子环这件事习以为常的数学家，若对这种有理数和自然数间的误解感到惊讶，他们就应该自问，从幼稚园到大学的教育（或者说，整个老师的求学）过程中，老师何时曾明确了解这个基本的代数事实。答案很不幸的大概是「从来没有」，因为在大学最后两年之前，数学课传统上侧重的是技术而非观念，甚至在大三、大四的课程中，我们一般的教育方式往往使得概念被程序和形式所淹没（[Wu1999a]） 。让老师都能理解 和 结构上的相似，让他们教分数时，能强调分数和自然数之间的相似，而非不同──应该是可以达成的目标。

大学前的实数与 FASM

第二点是学校数学是建立在 （有理数）而非 （实数）上。有理数在大学前课程无所不在，而实数只是一个淡淡的影子【注：从贝格对老师的测验来看，他似乎忽略了这项基本事实。（[Begle1972]）】。正因为如此，分数的概念才该被好好教导。我们希望所有老师都能察觉有理数在他们日常工作中的重要性，但很少人如此，因为我们从来没有强调这一点。

就现场教学的实务，K-12 数学中的实数都可用所谓的学校数学基本假设（Fundamental Assumption of School Mathematics；FASM）来处理（见 [Wu2002] 101 页和 [Wu2008b] 62 页）。这项假设说的是，所有对有理数有效的公式或弱不等式，对实数也都成立【注：这是连续性以及有理数在实数中稠密（dense）的显然结果】。例如在七年级的分数加法公式：

其中 、、、 都是自然数。我们能在（也应该在）、、、 是有理数时证明这个式子同样成立。再由 FASM，这个公式对 、、、 是实数时也适用。因此中学生可以毫不犹豫的写下

即便他完全不知道什么是 或 。如果你觉得这个例子太过造作又无关宏旨，想想这个有用的等式：对所有实数

如果 是有理数，这个等式很容易验证（参照前述的加法公式）。不过这个等式也意味着

若是没有 FASM，我们在 K-12 阶段都无法确认这个等式，所以在学校数学里，相信它成立纯粹只是出于信念。

最后再举一个例子。设 是不等于 的正数，那么对所有的有理数 和 ，我们能验证下列有理指数的指数律（尽管证明很冗长）：

现在 FASM 暗示我们能够直接假定下列等式对所有实数 、 都成立：

当然，学校数学没办法在 、 不是有理数时，说清楚 、 以及 是什么，更别提要解释上述等式为何成立。然而，这个等式不是只有纯粹的学术趣味，因为我们需要它来描述指数函数 的基本性质。

上面的讨论指出，任何中学数学的讨论注定漏洞百出，要填补这些漏洞就需要 FASM。我们希望 FASM 是数学师资专业培育的基本部分，然而就我所知，FASM 从来就不是专业养成的一部分，因此中学老师被迫得在从有理数往实数的转换过程中蒙混过去。我们很难相信，当老师惯于混淆到底什么是已知、什么是未知时，他们的教学会对学生有益。目前的数学师资教育绝对有改进的空间。

速度的概念

关于教一般大学生数学和教准数学师资培育的差异，另一个例子是「等速」的概念。试看这个五、六年级的典型问题：

如果依娜花 分钟走了 英里，那么她走半英里得花多长时间？

通常的解法是用「比例式」：假设依娜要花 分钟走半英里；从比例推理可知「距离的比例等于时间的比例」。因此， 对 的比等于 对 的比，亦即

交叉相乘后得到 ，因此 分钟【编注：这个解法的形式在台湾是七年级的课题，因为繁分数、交叉相乘、解方程式都是七年级的主题，不过较朴素的形式在六年级可以用「相等的比」来解决】。

这个答案无疑是正确的，但是使用比例式的道理何在？我们不能解释这个死背的步骤，因为解释所预设的假定被藏起来了，也就是依娜是等速行走的。如我们所知，没有假设，就没有推导。因此在这里，实际的解题被降级成死记套用比例式的程序。

为什么学校数学不提「等速」的观念？或者即使在课堂上提到了，却不加解释？这得回头探究我们是怎么养成老师的。大学数学中唯一提到等速观念的是微积分。假设沿着直线运动，描述时间 时与某定点距离的函数为 ，若它的导数 是常数就称为等速。当然，有些老师没有修过微积分，但即使修过的人，也只不过把等速看成一个微积分的概念。因为我们认为没必要帮这些准老师，建立大学数学和学校数学之间的关联性。这种对于等速的错误观念会一直伴随他们，等站上讲台才发现不可能谈导数，因此也认为不可能讨论等速。一旦有这种刻板印象，他们便会倒退回到自己大学之前所学的，根本不谈等速。于是这种传统就被延续下去，不只是课堂，还延伸到教科书。

在中学和小学老师间，修过微积分常被视为一种荣耀，某些师培学程因为这个原因特别纳入微积分。但修过标准的微积分课程不代表老师就比较会教学，等速不过是众多实例中的一个而已。理想上，师资课程应该说明在教学中，速度的概念因为太微妙而难以精确解释，但我们应该改采在时间区间 间的平均速度的概念，亦即

而且如果一个运动对「所有」时间区间 ，平均速度都是 ，就称为以等速 行进，也就是

只要这个观念被引进，上述例子之所以能用比例式，就能以「假设依娜等速行走」来解释。因为，依娜在两个时间区间 和 内的平均速度都相同，因此

这个等式和上面的比例式等价。

当然，学生很难了解「每个」 时间区间的平均速度都是定值的概念，因此教育研究者应该考虑如何减轻伴随而来的认知负担，但这是另一回事。在这里我们关心的是，有没有教给这些准老师履行授课责任时所需具备的知识。再一次，我们看到大学数学里正确的概念和中小学现场可行教学法之间的鸿沟。为了跨越这道鸿沟，我们需要为学校教学将抽象数学客制化（customization）。这就是数学教育的本质（参考 [Wu2006] 的完整讨论）。在这个例子中，我们拆解函数导数是常数的概念，然后再重组成学生能够理解的形式。

全等和相似

做为说明现在老师所学内容和所需知识之间鸿沟的最后一个例子，我们看看几何中全等和相似的基本概念。老师对于这两个概念的知识差距，反映在现存的几何课程中，例如：

（i）在初中，当两个图形（不必然是多边形）大小形状相同时，就定义为「全等」；若形状相同，但大小不一定相同，则称为「相似」。在高中，全等和相似是用角度和边长来定义，但仅限于多边形。对于高中较精确、而初中较广泛的定义之间，并没有任何调和两者的说明。

（ii）在初中，学习全等的目的是感知自然界的内在对称性，以及欣赏诸如荷兰画家艾雪（M.C. Escher）的版画、铺砖、马赛克拼贴等艺术作品。类似的，学习相似的目的是让他们进行图片放大的有趣活动。在高中，学生在几何课中证明关于三角形全等或相似的定理，但不会在其他数学课碰到这些观念。

（iii）因为相似的概念比全等更一般，两个图形比较可能相似而非全等，因此有些课程要求老师在初中时先教相似，再提全等【注：我们可以定义相似是平面到平面的一对一对应，其中任两点距离以定值 的比例改变，并将全等定义为 的情况。然而这种方法基本上在学校课堂里不可行】。

由于大学教育的疏忽，老师对于全等和相似的理解，就如（i）至（iii）所描述的，大多是破碎而不连贯的。不是所有的学校几何课程都犯了这三项毛病，但大部分都犯了前两项。只要大学数学课程不去解决中学数学中出现的问题，老师就没有足够的知识摆脱这样的数学盲见，而出版商就可以毫无顾忌的继续散播这些错误。

我们应该为准老师设计一套大学数学课程，帮助他们「回顾」这些议题，例如全等和相似的意义，以及这些概念在数学的重要性。相反的，当今的准老师会学到一些像是曲线曲率、曲面高斯曲率、有限几何、射影几何、非欧几何以及几何基础等题材，但他们「没有」学到平面的欧氏几何。然而欧氏几何才是老师真正需要的，因为它往往是教学成效最差的项目。老师迫切需要学校几何的坚实知识，才能在几何课上教得更好。

在此例中，我们又看到分数教学的弊病全都再度上演：杂乱的定义、数学推理的重大鸿沟，以及对数学连贯性的漫不经心。总之，除了有趣、艺术欣赏，或者学习无趣的几何证明之外，学生学习这些概念并没有什么明确的目的。

然而，这些长年忽视所导致的苦果并非无法撼动，因为还是有方法能让学校几何课程具有数学意义，特别是全等和相似。我们可以或多或少用非正式的方式（诸如动手操作）来介绍平面的「基本刚性运动」（平移、旋转、镜射）。毕竟我们必须承认，变换（transformation）的概念对学生并不容易，一开始就强调太多形式材料也没有什么帮助。我们可以用同样的方式处理缩放（亦即以某定点为中心，做固定比例的投影）。

接着我们就能定义全等是基本刚性运动的有限组合，而相似则是一个缩放和一个全等的组合。但是，正如所有数学的事物一样，我们不是为精确而精确。就现况而言，学生能直接使用平移、旋转、镜射来证明线段和角度的全等。这样的证明比起传统使用诸如 ASA、SAS 和 SSS 的证明要直觉得多。此外，我们很容易就能「假定」平面上存在大量基本刚性运动，因此可以证明欧氏几何中的常见定理，包含关于相似三角形的部分（参考 [CCSS] 和 [Wu2011b] 第二卷第 11 章）。在这样的数学概念发展下，对于「全等不变量」的要求更凸显了全等在长度、面积、体积定义中的重要角色（参考[Wu2010]第 7 章以及 [Wu2011b] 第三卷第 18 章）。这是让老师了解什么是全等和相似，以及它们为什么是数学基本要素的方法之一。

在高等数学中， 维欧氏空间 的基本刚性运动是用坐标和正交变换定义的，同样缩放也是以坐标定义。这里我们改以刚性运动和缩放当做构造几何的基本素材，是为了定义平面的坐标系统，这是可以运用于中学教学的方式，是另一个为了学校教学而将抽象数学客制化的例子。

这样的数学学科知识在师资培育课程中尚未普遍采行，但我们应该要如此做。

数学家的角色

上面三个例子指出应该如何将教育现场能使用的抽象数学客制化，但它们只不过是冰山的一角。几乎整个大学前的课程都需要仔细翻修，才能符合数学的最低标准，而这项工作需要数学家的投入。我个人的意见，目前数学课程的积弊已深，光靠数学界以外的人士是无法矫正的。数学研究者在此背负重责大任：他们应当和数学教育同僚协调，协助设计新师资课程并教授这些课程，而且在这一波师培课程改革的每个面向提出建设性的批评。我对解决这问题的系统性叙述可参见 [Wu2011a]（适用于小学老师） 及 [Wu2011b]（适用于高中老师）。给初中数学老师的第三卷教材，将会纳入 [Wu2010] 的内容【注：[Wu2011b] 是一门「中学数学」三学期课程的课本，这是加州大学柏克莱分校为主修数学并有志从事老师工作的学生而开设的必修课程】。

对于不那么在意细节的人，[Wu2008b] 提供了从幼稚园到八年级可以教哪些课程的概述。在 [MET] 中也有类似的纲要，那是 2001 年撰写的，旨在为大学数学系的数学师资课程提供指导方针。它的重点在于带动数学研究者参与数学教育的讨论。尽管其他人可能有不同意见，我个人的看法是，它的语言对数学家还不够有说服力，而其中的数学也太常忽略了数学基本原理。

对于数学研究者，大学前的数学显然没有疑难之处。他们可以轻易从头开始构造这些数学知识。但如果要将这些内容传达给老师，他们就得花时间看看教学现场的实况。如果一位数学家的亲身经验可做为参考，上述教学上的疏漏只有在数学家获得 K-12 教学现场的充分资讯才能够避免。做为开端，数学家可以到附近学区的办公室看看学校现在使用的教科书，应该会大开眼界。数学家也应该和在职老师聊聊老师的教学经验，以及学生学习困难之处；若可能的话，实际参访教学现场更佳。然而，最终极的考验自然是教导在职老师或准老师 K-12 数学，并请他们提供坦白的回馈意见。如果大学数学系和教育学院之间关系良好，那么透过教育同事的牵线，可让与学校老师的接触过程便利许多。

此外还有一项重要的贡献是数学研究者可以提供的，这一点似乎在迄今的教育讨论中还没得到充分强调。数学家常需要迅速掌握新观念，即使单单出于学术界的生存压力，他们必须在新概念还未被精确表述之前，就能理解其直觉意义，知道创造特定技巧的背后动机，并且对于要追寻的方向有大致的了解。这正和学生要学新东西时须具备的能力相去不远。这些数学研究者的经验肯定能协助阐明学生的学习历程。因此，这也是一项在帮助老师和教育家更加了解教学时，宜善加利用的重要资源。

数学基本原理

我在这篇文章数度提及「数学基本原理」，现在让我来概略说明，解释它们是什么，以及为什么很重要。我相信至少有五项原理，它们互有关联。而且因为教科书和学校教育文献经常违背这些原理（下面会解释），如果老师希望教好学生，他们就应该多加注意。

（１）每个概念都被精确定义，而且定义提供了逻辑推导的基础。现今学校数学课程对于定义的忽视，已经使得许多老师搞不清定义和定理的差别。老师间普遍认为定义是「又一个得牢记的东西」。我们已经指出在现今的学校教育文献中，分数、等速、全等及相似的概念几乎都没被定义。更严重的是，K-12 数学课程中有更多基本概念没有正确定义，或者即使有定义，也未能融入整体架构，成为推理的一部分。这些概念包括数、有理数（初中课程）、小数（在小学高年级课程做为分数的一种）、分数的大小、长度、面积、体积（在各年级）、直线斜率、直线隔出的半平面、方程式及其图形、函数不等式、正数的有理指数，以及多项式。

（2）数学叙述是精确的。不论何时，我们都能区分何为已知、何为未知。然而在学校数学的课本和教材中，有太多地方模糊了何者为真、何者不为真的界线。启发式的论证往往被并入正确的逻辑推理中。举例来说，对于正数 、 的等式 常是指定几个 、 的特定值，然后用计算器确认等式成立就算解释完了。（更多的例子可参见 [Wu1998]3-5 页）。有时造成不精确的原因是符号或术语的滥用，像是使用 来表示「 除以 的商是 ，余数是 」（这既不是两个自然数，也不是两个分数间的等式）。又有些时候是隐藏的假设未被明确表示出来。FASM 的未被明文陈述，大概是这类缺失最显著的例子。

（3）每个断言都有逻辑推理的支持。推理是数学的生机来源，也是解决问题的平台。既然学校数学往往缺少推理（可参考前述关于分数和等速的讨论），我们又怎能在老师没有能力带领学生做逻辑推理的情况下，要求学生具备解决问题的能力呢？

（4）数学是连贯的，它是把概念和技巧用逻辑编织成一体的织锦。数学老师的专业养成通常不是强调程序（以前），就是强调直觉（现在），但从来不曾强调数学的连贯性（结构）。连贯性或许是大多数老师最难掌握的面向（容我斗胆的说，教育家亦然）。在念大学之前对数系【注：自然数、整数、分数、有理数、实数及复数】的连贯性浑然不察，或许就是这个缘故，所以分数被当成是和自然数「不一样的东西」来教（也因此学习自然数几乎和学习分数毫无关联）。我们之前提过在全等前先教相似所导致的课程不连贯。一个更常见的例子是几乎处处可见的等值分数定理「证明」：对于所有分数 和自然数 ，

所谓的「证明」如下：

这个证明的问题在于，此定理基本上必须在定义分数后就马上证明，但是分数乘法，做为分数四则运算中观念最复杂的一项【注：复杂来自学生可以有效运用 之前，至少必须解释三件事实：（1）它是长为 ，宽为 的长方形面积。（2）它是将 等分成 份后，取其中 份所得到的总量。（3）它和 相等。（1）或（2）都能做为 的定义，然后必须证明另一项，接着也得证明诱人的公式（3）。（3）外表看似简洁，但这种简洁正是导致许多分数乘法教学触礁的女妖之歌】，在通常的分数教学中，是很后来才教到的。

数学的连贯性包含了（当然不仅限于）概念和定理的循序渐进；从逻辑上较简单者推进到逻辑上较复杂者的顺序不能任意破坏。然而，对于没有长期、有系统的沉浸在数学中的人，很难抗拒漠视这种循序渐进做法的诱惑力。前面的两个例子充分阐明了这项事实。

（5）数学是目标导向的，放进标准课程中的每项概念或技能都有其目的。能够体认这些数学目的的老师，便是得到一项增加课堂吸引力的法宝。当学习全等和相似的目的只是做「趣味活动」时，学生会开始看不到数学，并怀疑为何自己得学这些。当学生只把配方法看成得到二次方程式公式解的技巧，而非学习二次函数的中心概念时，他们对于这项技巧的理解也只止于表象。但在教学上最没有目的性的例子当属教学生四舍五入到百位或千位，却没有告诉他们这有何用处（见 [Wu2011a] 10.3 节）。大部分的小学生认为四舍五入是完全无用的技巧，只是为了应付考试才学的。如果老师教四舍五入时能提及为何和如何做估计，应当能得到较佳的教学效果。

老师需要了解的数学

我希望上述对于数学基本原理的讨论能说服读者，关于学校课程数学老师尚有大量实质的数学要学习。这些知识或许初等，但绝不浅薄，就如同笔记型电脑背后的理论或许初等（只不过是 19 世纪的电磁学理论），但绝非不值一顾。上述的讨论事实上关系到数学教育最核心的问题：「究竟」是怎样的学科知识可以增进学生的表现？（参考本文先前提及贝格的研究）虽然目前缺乏对于这个问题的研究数据，但这对于踏出改良数学师资教育的第一步并非必要。不论所需要的学科知识是什么，它都必须包含呈现方式与数学基本原理一致的课程。

让我尽量把它阐述清楚：我并非天马行空的要求老师必须了解某些高等数学，甚至并不坚持他们非得懂高等数学，但他们必须了解他们要教给学生的内容。「了解」一词在此的意义和数学家平时的用法无异【注：教育家通常只就字面意义来使用「了解」一词：指能够记住事实、定义或步骤】。了解一个观念，表示知道它精确的定义、知道它的直觉内容、为什么需要它、以及它在那些脉络扮演关键角色。而了解一项技术或技能，表示知道它的精确叙述、它的恰当使用时机、如何正确证明它、创造它的动机，以及在各种情境中正确应用它的能力。就这种毫无暧昧不明的意义，老师如果不能同时对执教年级前后三、四年的教材内容有相当了解，就不能宣称了解该年级的数学（参见 [NMP1] 的第 19 项建议）。

数学老师真正了解所教数学的必要性，说明我们为何希望高中老师能懂一些抽象代数：这门学科让他们理解为何其实只有两种算术运算（ 和 ），而不是四种；了解有理数和有理函数如何相像；也能理解他们在几何中遇到的公设系统【注：我并不是鼓吹使用公设来教高中几何】，其实在数学中是普遍的做法。老师理解所教数学的必要性，也解释了为何我们希望教高中微积分的老师能懂一些分析学，而不仅仅是初等微积分。

当下而言，大多数老师并不了解他们执教年级前后三年的课程内容，因为我们的教育体系并没有这样要求。我们有义务导正这项疏失。

学科知识和教学知识

本文的标题写的是数学老师的教育，但我们目前只谈到学习数学，还没提到教学的方法。懂得数学对于有效教学无疑是必须的，但这很明显还不够。举例来说，我们希望老师知道精确的定义，也了解它们在发展数学技巧和想法时的角色，但我们并不希望他们使用研究所课程那种「定义 / 定理 / 证明」的方法来教学校数学。然而，事实也显示当老师越了解一项定义（它所满足的历史需求，为何大家偏好某一种表述、它可以如何运用），他们就越能让学生理解。同样的道理也可以运用到每一项数学基本原理。

这让一些数学家和教育家对目前师资教育何者最急迫的歧见浮上台面。数学家倾向认为在数学老师的养成中，学习必要的数学是最难的步骤，因此教授这些知识是师资培育课程的首要任务。可想而知，一些教育家认为真正困难的是教学的部分，是如何将学科知识顺利传送进教学现场。这个理论认为，如果把数学和教学法一起教授，老师会学得更好。要解决上述歧见的关键点──到底是学习教学法还是学习数学比较困难──我们可以择机进行大规模的研究，确认到底是缺乏坚实的学科知识还是缺乏教学技能对教学成效不彰【注：[Hill-RB] 对一、三年级老师所做的大型研究发现老师的学科知识和学生的学习成就呈现正相关。因此即使在这么早的学习阶段，学科知识可能都是主要因素】的影响较大。另一方面，一些小规模的研究，像是 [Ball] 和 [Ma] 指出缺乏学科知识是比较严重的问题。一些非正式的证据也指向相同原因。

我个人曾用了十一年的夏季，在四个州教导小学及中学老师（有时一年不只一轮），也曾在柏克莱教了四年准中学老师，我的经验是绝大多数人的数学基础仍嫌不足（参见 [Hill-RB]）。甚至有时我在教学中加入教学议题，这些老师往往把心力用在学习数学，几乎不做教学方面的讨论。一些官方统计，像是《陷入危险的国家》（A Nation at Risk；见〈关于教学的发现〉（Findings Regarding Teaching）[NAR]）里的数据，也符合上面的概述。正是因此，我在本文中特别将重点放在老师的学科知识上。

此一关于学科知识的讨论应当要放进舒尔曼（Lee Shulman）在 1985 年的演讲时所提出的学科教学知识（pedagogical content knowledge, 见 [Shulman]）的脉络中来看，亦即数学老师为了有效教学，特定与教数学有关的教学知识。讨论时有两点需要厘清：「数学学科知识是什么？」而「相关的教学知识又是什么？」波尔等人为了改革数学师资教育，最近开始将这两种知识的内涵条文化 [Ball-TP2008]。不可不提的是，若无坚实的数学知识基础，谈论学科教学知识也只是白费唇舌。

老师在职进修的需求

在本文的开始，我提过波尔调查老师对于分数除法的理解程度（[Ball]），其结果确实让人心惊。我猜测，如果她的调查对象都学过合乎五条数学基本原理的 K-12 数学，调查的结果肯定会好很多【注：[Hill-RB] 中的研究虽不是直接验证这个假设，但结果和此颇为一致】。除非我们先改进大学内的数学师资课程，否则学校内的数学仍然会是坑坑疤疤。我们得教给老师合乎基本原理的 K-12 数学，才能打破这个恶性循环。

然而在大学短暂期间的学习，无法祛除准老师从幼稚园到高中十三年所受的错误教育。因此若要让所有数学老师的学科知识都达到一致的水准，就需要州政府和联邦政府对老师的在职进修进行长期的大量投资。为了达到这个目的，我们需要直接强调学科知识的在职进修。然而政府各部门似乎对学科知识的重要性不以为意，因此这类专业进修计划不易获得资金补助。举例来说，来自 41 个州由州政府经办的「数学与科学伙伴关系」（Mathematics and Science Partnership；MSP）计划，最近洛夫勒斯、恩利克和凯利（Loveless, Henriques & Kelly）针对优胜提案的调查研究（[Loveless-HK]）发现：「有些提案似乎旨在提供健全的专业养成，但许多却没有清楚描述老师到底会学到什么。」 一般来说，「这些提案的专业养成活动明显偏向教学法。」

举例来说，虽然 [TAMS] 里所描述的专业工作坊并不在 [Loveless-HK] 的调查范围内，却符合该调查对典型优胜提案的描述。[TAMS] 开宗明义写道，「TAMS 风格的师资训练可增进老师的学科知识。」但除了提到「老师工作坊以资料分析和测量为重点。... 低年级老师也学习长度、面积、体积」，至于其他关于数学专业养成的讨论则集中在说服老师接受「建构式问题导向的教法」。[TAMS] 丝毫未察觉小学老师到底需要什么样的学科知识，而这种情形并不罕见。改变在职进修计划的补助方向是一个亟需重视的议题，重要性丝毫不亚于在师资养成教育中加强学科知识的必要。

结语

在结束本文前，让我再强调两点。大学以前所学的数学不只是老师，也是数学教育家以及教育行政人员【注：若有人纳闷我为何提及行政人员，我得说，学区层级关于选用教科书和师资培育的可怕决策可谓罄竹难书】数学资讯的主要来源。若教育家和行政人员仍因为数学界的轻忽以致在知识上有所欠缺，那么数学教育就不可能进步。例如，若是研究者所接受的 K-12 数学教育符合前述的五条原理，他们关于分数的研究就不大可能会漠视逻辑推理（见 [Wu2008a] 33-38 页）。有些数学教育家同样也不曾接触过这种数学课程，因而不免对数学产生曲解。本文即在于阐明，数学研究者眼中理所当然的数学，以及老师和教育家所认为的数学，两者间的鸿沟已严重斲丧了数学教育。为了减轻伤害，我们至少需要把 K-12 数学梳理清楚，为此目的，我们必先得培育出一群对数学有正确认知的老师。后者应该是数学界的短期目标。

谈到数学家和教育家间的沟通障碍，我得指出这种学科间的沟通不良其实并不罕见。华生（James Watson）在他那本讲述 DNA 双螺旋结构发现经过的名著里（[Watson]），提到他和克利克（Francis Crick）在英国剑桥建构模型时，曾经遵循有机化学的标准用书【注：J.N. Davidson 所写的《核酸生物化学》（The Biochemistry of Nucleic Acids）】，将相同的碱基配在一起。幸运的是，美国结晶学家唐纳休（Jerry Donohue）碰巧来访，并且和他们共用一间研究室。唐纳休告诉华生，不但他的配对方式错误，而且化学教科书中的相关资讯也大多不正确（同上，190 页），华生写道：

要是他（唐纳休）没来到剑桥，我大概还是会继续拽着相同碱基配对的模型不放。（209 页）

换句话说，要不是凑巧有个真正懂得物理化学的人出现，华生和克利克可能就没办法猜对双螺旋模型，或至少这项发现会延后很久。

我们能从这故事学到，要是连这么高端的科学都存在错误的资讯，数学教育应当也可能发生类似的问题，尤其数学教育相较之下更为自由随兴。这指出了师资教育真正的进步需要数学界和教育界的紧密合作，小心的去芜存菁。而且考虑到教育文献和学校教科书中长期累积的数学谬误，教育家应当更有强烈动机去重新审视目前的 K-12 数学课程，并且批判的思考其中的问题。

最后同样重要的是，整篇文章我不断强调要让老师以及（连带的）教育家了解 K-12 的数学。这并不代表数学老师只要懂 K-12 的数学就够了。和贝格的想法相反，在数学教育中，并没有了解（就本文稍前所界定的意思）太多数学这回事。任何一点一滴的数学知识长久下来都会有助益。然而，针对目前最棘手的问题──改善所有数学老师的教育水准——我们只好先专注在审慎可行的第一步：确保所有老师都了解 K-12 的数学。让我们完成这项任务吧。■

参考文献 请见英文原文  

http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf