序

今天讲几何的源流，重点不是考证史料，我不想引起远离正题的讨论。我的目标在于：让同学们了解几何学是如何形成的，希望大家从这些资料中能够找到指引向前探索几何的道路。

我少年时，读我父亲丘镇英刚刚完成的书《西洋哲学史》[52]，深有感触。书中他指出哲学史的目标：

1. 求因：美国学者马文（W.T. Marvin）说：任何时代的哲学，系全部的文明（包括过去）和其时变迁中的文明的结果。所以，任何一种哲学思想的发生，决非凭空出现，必有它发生此种哲学思想的原因。
2. 明变：古今哲学思想，变化至繁，但是亦有其一定相沿的轨迹。哲学史的第二任务，就在究明古今哲学思想递嬗相沿的轨迹。
3. 评论：将哲学思想发生的原因和它的变迁的轨迹究明之后，还不够，还须知将各种哲学思想加以客观地评价以后，方算完成。换言之，将各种哲学思想对当时及后代的影响，产生了何种价值，作一种“客观的”评论，这是哲学史的第三任务。

我认为：将这三段文字中，哲学史改为数学史，最为适合描述我期待的研究数学史的态度。

第一讲 从希腊数学到文艺复兴

1. 希腊的几何学

1.1. 序

我们谈古代数学由古代希腊谈起，因为数学成为有系统严格推理的学问，要到古代希腊人才开始。数学中很多没有成熟的命题零散地出现在古代埃及、巴比伦、印度和中国。一般来说，这些命题不单是没有证明，往往连具体清晰的命题叙述都没有。同时史料很不充足，往往牵强附会，叙述这些命题的民间学者，民族主义情绪又太严重，态度并不可取。毕竟数学的成长，最后还是依靠事实和严格的证明。

但是我们也不应该抹杀比古代希腊更老的文化的贡献。举个例子来说：在几何学里，有一个极为重要的不等式叫做等周不等式，直到今天，几何学家都还在讨论与这个有关的命题：

由给定长度的简单闭曲线所围成的图形中，圆的面积最大。

传说这是迦太基（Carthage）的开国女皇狄多（Dido）提出的问题。当然这只不过是传说，大概古代划分土地时，会遇到这种问题。古代希腊数学家没有对这个命题给出严格的证明，因为曲线这样的观念要到微积分出现后才比较容易处理。所以这个重要的命题直到十九世纪才得到完满的解答，但是十八世纪时欧拉和拉格朗日在发展变分法时，就讨论过这个问题。

到目前为止，这个不等式至少有几十个不同的证明 [42]，其中以瑞士数学家施泰纳（Jakob Steiner，1796--1863）在 1838 年 [53] 用的对称化方法最为出色。一般人认为第一个给出等周不等式严格证明的是德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815--1897)，他的方法是变分法 [57]。德国天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571--1630）曾经用它来讨论太阳系的结构问题（The Sacred Mystery of the Cosmos, 1596）[25]。

在适当处理后，我们发现使等周不等式成立的常数和几何图形处在的空间，息息相关。等周不等式可以看作如下的不等式：， 其中 是闭曲线围着的面积，而 是闭曲线的长度。，这个常数 和曲线所处的空间有关。好的常数表示物质在空间流走比较通顺，因此它和空间的谱有密切关系。在近代图论里面，这个常数有着举足轻重的地位。在研究网络的流通性质时，专家都关心这个常数的大小。

（同学们可以考虑这个问题的一个重要的推广：假如在上面的等周不等式中，将闭曲线换成高维的子流形，面积换成这个子流形包含的极小子流形的体积，有最佳常数的等周不等式是否成立。这个问题很重要，但是到现在还没有全部解决。）

1.2. 几何的创始时代

古人在生活实践中，发现某些简单的几何图形满足一定的规律。这些规律简洁明了，具有美感，令人惊叹！这些几何性质，虽然在埃及和巴比伦时代已经有了一定的论述，但要到了公元前 600 年，在希腊文明中才得到明确推崇。

希腊数学在希波战争后最为发达。始于伊奥尼亚（Ionia），这个地方在小亚细亚西岸，容易吸收巴比伦、埃及等古国文化。在这里，商人的势力逐渐代替了贵族。商人向外发展，在海上和陆地上可以自由活动，同时城邦斗争促进人们放弃传统的教条和信念，科学和哲学从宗教逐渐分离。米利都（Miletus）是伊奥尼亚的最大城市，临海而气候多变，在这里产生了第一位希腊几何学家泰勒斯（Thales，约公元前 624--公元前 545）。

他早年是一个商人，游访过巴比伦、埃及等地，得到古代流传下来的知识，创立了伊奥尼亚哲学学派。他不再用神秘学或宗教来解释自然，代之以他始创的逻辑思维来解释自然界和美丽的几何现象。传说他在埃及时曾利用日影以及比例关系算出金字塔的高度。他也曾预测过一次日食（公元前 585 年），促使米太（Medes，黑海里海之南）和吕底亚（Lydia，土耳其西部）停止战争。

毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（Pythagoras）约公元前 570 年出生于萨摩斯（Samos，希腊东部小岛），以后移居意大利南部的克罗顿（Crotone），成立了一个以政治、宗教、哲学和数学融而为一的秘密学派。这个学派持续了二百年。他们企图用数来解释一切，认为万物皆数。他们发现勾股定理并且给予证明，这是划时代的贡献。他们将算术和几何联系起来，找到三个正整数表示直角三角形三边长的公式。又发现假如在直角三角形两臂长度为一，那它的斜边的长度（）是个无理数。

和直角三角形面积有关的是一个数论上悬而未决的问题：

什么整数可以写成直角三角形的面积？其中所有边长都是有理数。

这个问题的研究直到最近才有不少的进展，在 美国罗格斯（Rutgers）大学有位数论学家腾内尔（Jerrold B. Tunnell，1950--）发现 [55] 到两位英国数论学家贝赫（Bryan Birch，1931--）和斯维纳通-戴尔（Peter Swinnerton-Dyer，1927--2018）在上世纪六零年代的伟大猜想可以用来解决这个问题的重要部分。但是这些猜想仍旧悬而未决。毕氏学派又创下地圆说，认为日、月和五个星球浮悬在太空中。

他们也是音乐理论的创始者。他们认为音乐可以由数字来解释，他们已经知道弦振动的基本波，从而得到谱的观念。这个学问表面上和几何学毫无关系。但是到了十九世纪初期，欧拉（Leonhard Euler，1707--1783）和傅里叶（Joseph Fourier，1768--1830）对于波的研究 [14,17]，谱分析逐渐在几何学中生根。任何一个几何图形都有它结构的谱。谱的研究是现代几何的一个重要分支。我们设想几何图形由一片薄膜做成，它不必是圆形的鼓。击打这个鼓时，我们听到不同的声音。通过谱分析，我们希望推测这个鼓的几何形状。这个是一个有名的几何问题。

毕氏学派认为宇宙的实体有二：数和无限的空间。他们认为万物皆数，数是存在的有限方面，而空间是存在的无限方面，二者相合而万象生。

这个概念仍然影响到今天几何学的发展。毕竟坐标系统使我们可以用数字明确地描述几何图形，根据相对论理论，物体的分布既影响了空间本身的几何也受到空间几何的影响。

1.3. 希腊的哲人时代

哲人学派（Sophist school）在公元前五世纪，以雅典为中心，崇尚公开的精神，雄辩、修辞、数学及哲学等知识。他们提出三个大问题：

仅用圆规和直尺做如下的构造：

1. 三等分任意角；
2. 倍立方，求作立方体，使其体积为已知立方体的二倍；
3. 化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

第二个问题又叫德洛斯（Delos）问题，传说德洛斯城的居民为了解除由太阳神阿波罗（Apollo）降给他们的瘟疫，向德尔斐（Delphi）城的祭司求救，祭司要求他们建做一个立方体，它的体积要刚好是阿波罗祭坛立方体的一倍，他们就向柏拉图（Plato，约公元前 424--公元前 347）求教。

尺规作图问题在古代印度和中国数学也可以找到踪迹，但是直到伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）理论 [18] 出现后，上述三个问题才得到圆满解决。十九世纪的数学家发现这些几何问题，与用圆规和直尺所能构造的数字有密切的关系。他们发现这些数字必须要满足一些以整数为系数的多项式方程。然而，与上述有关的几何问题所产生的数字（例如 ，）并不满足这些方程， 1882 年林德曼（Ferdinand von Lindemann，1852--1939）证明 为超越数 [31]，它不满足任何整数为系数的多项式方程，因此这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。

公元前 430 年安提丰（Antiphon，公元前 426--公元前 373）提出穷竭法，用来解决化圆为方的问题，提供了求圆面积的近似方法。可以说是极限理论和微积分的雏形。

柏拉图学派：柏拉图在雅典建立学派，创立学院（Academy），宣称：不懂几何者，不得入其门。他主张通过几何去培养逻辑思维能力，将逻辑规律体现在图形中。这个学派培养了欧多克索斯（Eudoxus，约 公元前 408--公元前 355），创立了比例论。柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle，公元前 384--公元前 322）是形式逻辑学的奠基者，为以后几何学严格的逻辑系统开了先河。

希腊数学家发现一个很重要的立体几何的定理。他们发现只有五个正多面体，由于柏拉图很喜欢它们，并且给予意见，所以叫做柏拉图多面体。

希腊人将它们对应于宇宙中的五个元素：

• 火——正四面体
• 土——正六面体
• 气——正八面体
• 水——正二十面体
• 第五个元素是宇宙的基本元素（以太，ether）——正十二面体

这个说法有点像中国人说的五行。中国人将五行和人事休咎联结在一起，希腊和以后的西方科学家却企图用它们来解释宇宙的结构。其中以太的观念最为重要，在很长的时间里，他们以为以太是传递力的媒介。以太的问题直到十九世纪末由美国物理学家迈克尔逊（Albert Abraban Michelson，1852--1931）和物理、化学家莫雷（Edward Morley，1838--1923）的实验（1887）才知道以太并不存在 [35]，但是这个实验成为现代物理学的基础。

上面说的柏拉图多面体，有很好的对称性质，以后被包括开普勒（Kepler，1571--1630）在内的科学家作为宇宙的模型。结果虽然并不成功，但是这些重要的多面体的研究还是引起重要的几何学和其他科学的工作。

公元前 496 年到前 430 年间有埃利亚（Elea）学派，以芝诺（Zeno，约公元前 495--公元前 430）为代表。提出四个悖论 [26, p.30]：

1. 二分说
2. 阿基琉斯（善跑英雄）追龟说
3. 飞箭静止说
4. 运动场问题

这些问题促进数学家更多深入思考比较基础的数理逻辑的问题，有一定的贡献。

公元前四世纪以后，数学逐渐脱离哲学和天文学，自成学科。几何学建立起自己的理论体系，从实验和观察的经验科学过渡到演绎的科学。埃及的亚历山大城（Alexandria），是东西海陆交通的枢纽，经过托勒密王一世（Ptolemy I，公元前 323--公元前 283 在位）的经营，成为新的希腊文化中心。

1.4. 亚历山大时代

公元前四世纪到前 146 年古希腊灭亡，希腊数学转移，以亚历山大为中心。这里有宏伟的图书馆和云集四方的学者，成就最大的是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

欧几里得（Euclid，约公元前 325--公元前 265）集当时几何学的大成，写出来的《几何原本》[12] 是一部划时代的杰作，是演绎体系的最早典范。过去累积下来的几何知识不少，但是都是零碎的，通过演绎法，建立了一个虽有些缺陷但还算是严密的体系，完成了一个大型结构。他用五条公理推导出一大片有趣的几何命题，实开千古科学从简御繁的先河，他的看法直接影响到牛顿处理力学的方法。牛顿利用三个基本定律推导出天体的运行，其中逻辑运用之妙，无与伦比！

欧氏的理论实源于亚里士多德的三段论法，即大前提、小前提和结论。这些推论方式叫演绎法，它预定一些由直觉得到的公设，这些直觉的起点，亚氏认为是矛盾律与排中律。但亚氏用归纳方法搜集资料，归纳而得一结论，取为前提，叫做归纳法。

欧氏就是通过归纳法，发现平面几何中有五个显而易见的性质，他取之为公理，并且根据这些公理推导出平面几何所有的定理。

第五公理叫平行公理，它指出在直线外任何一点，必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交。

直到十八世纪时，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752--1833）还花了很多力气想证明这条公理可以由其他四条公理推导 [28]，他没有达到目的，却发现这个第五公理和如下著名的欧氏几何定理等价：平面三角形的内角和是 180 度。这个定理可以看作为高斯--博内（Gauss--Bonnet）公式的特殊例子。

后世很多几何学家都不太愿意接受这条公理，他们试图用其他四条公理去证明它，但都没法成功。直到十九世纪初期双曲几何面世，又经过数学大师们的讨论，才知道平行公理是不能由其他公理来导出的。

平行这个观念看似简单，其实不断地影响着近代数学和物理学的发展。其实这是很明显的事情：当我们在不同的地方量度和观察不同的信息的时候，我们必须比较这些信息，而比较的方法就是通过平行移动来完成的。移动的路线有很多，结果亦可能很不一样，因此产生了多姿多彩的几何和规范场的观点，影响了近代基础物理的发展。

阿基米德（Archimedes，约公元前 287--公元前 212）是一个伟大的物理学家和数学家，他将抽象的理论和工程技术结合起来，一方面在实体的现象中洞察事物的本质，然后通过严格的论证，将经验成为理论。他根据力学的原理去计算面积和体积的问题。和其他希腊数学家建立了微积分的雏形理论 [4]。

阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前 240--公元前 190）的贡献是对圆锥曲线的研究 [22]。他证明了如下定理：

给定平面上一般位置的三个圆，必有八个不同的圆和它们相切。

这个定理可以看到代数几何的简单模型。以后我们会提到计数几何，这个定理可以看作这个几何的始祖。

在公元前二世纪，天文学家喜帕恰斯制作“弦表”以后，托勒密（Claudius Ptolemaeus，约 100--170）将这些工作整理，奠定了三角学的基础。

在公元三世纪时，丢番图（Diophantus，约 200--284）著有《算术》一书。虽然书中内容已经脱离了古典几何的看法，但是到了二十世纪，丢番图的工作在代数几何重现，一连串的问题引发了算术几何的成立。

公元 325 年，罗马君士坦丁大帝（Constantine the Great，约 272--337）把一切学术研究置于基督教控制下，数学研究开始衰退。但是即使如此，在四世纪时，出现了第一个射影几何的定理——帕普斯（Pappus）定理。帕普斯定理，指的是直线 上依次有点，，，直线 上依次有点 ，，，设 ， 交于 ，， 交于，， 交于 ，则，，共线。

设 ，，，， 和 为平面上六条直线。如果：（1） 与 的交点， 与 的交点， 与 的交点共线，且（2） 与 的交点， 与 的交点， 与 的交点共线， 则（3） 与 的交点， 与 的交点， 与 的交点共线。这个定理和长度无关，讲究的是线和线的相交，点是否在同一条直线等问题，射影几何从此诞生。

到 529 年，东罗马帝国皇帝查士丁尼一世（Justinian I，约 482--565）关闭雅典的柏拉图校园，严禁传授数学。大部分希腊学者逃到叙利亚和波斯。641 年，亚历山大被阿拉伯人占领，希腊数学从此末落。

1.5. 评述

总的来说，希腊学者认为几何学和大自然一样广阔和丰富，它和大自然走着相同的轨道，同时也共同见证着宇宙的包容、简洁和稳定。以简制繁的观念影响到艺术的发展。希腊学者认为统御自然界的共同原理必须简洁，所以描述自然界的绘画，表达心灵与自然界交通的诗篇或是颂辞亦必如此！

古代希腊人的基本精神在于“调和”。狄更逊（G.L. Dickinson，1862--1932）在其所著的《希腊人的人生观》[11] 中说：“调和啊！就在这一词的意义上，我们可以解说希腊文明的主要观念” 。希腊人视美与善，身与心，个人与国家，神与人为调和统一的。所以柏拉图在《理想国》[46]中说：“美术能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾侪之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善。而美之真际，即同时流露于其身若目，有如清风之来自蓬莱，引人之灵魂与同情之美，生同情于不知不觉间也” 。

调和或者美的观念一直影响着几何的发展。近代几何分析常用的调和函数，调和形式及调和映射都是基于调和的观念来理解几何学。

这种调和的思想贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美使我们与大自然更为接近，大自然和数学的美开阔了我们的胸襟，扩展了我们的视野。也正是由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画，都有几何学家参与其中，并且有基本的贡献！

2. 中国古代几何

古希腊数学的发展将近千年，是今天数学的基础。中国古代数学大致在这千年的后半部产生，有正式记载的古代中国几何学大部分都在《九章算术》[61] 和《周髀算经》[60]，这两本书流传在汉代，观其内容，应该不是一人一时之作。

《九章算术》收集了 246 个应用问题和解法，由三国后期魏人刘徽（约 225--295）注释，他说：“周公制礼有九数，九数之流，则《九章》是矣。” “汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌皆以善算命世，苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论多近语也。”

其中张苍经历了秦、汉两朝。耿寿昌在汉宣帝官至大司农中丞。刘徽认为他注释的九章算术是由耿寿昌所删定的。但是这些九章问题并无有组织的数学理论可言。以后西汉末年的许商、杜志、东汉郑玄、刘洪都研究过这本书。书中内容包括开立方法、盈不足术、线性联合方程组、勾股弦等内容。

事实上，从数学理论来说，刘徽的工作比前人重要得多，他论述了无理方根的存在，论证了勾股定理与解勾股的计算原理。在面积与体积方面，他用出入相补，以盈补虚的原理及割圆术的极限方法，提出计算理论。

《周髀算经》的作者考证极为复杂。钱宝琮（1892--1974）认为此书分两个部分 [50]，前部分为商高和周公的问答，后部分为陈子模型。商高和周公的对话应是后人伪托。他认为陈子以下的文字才是主体。

此书大概是在不同时代的作者完成，大概在公元前 100 年至公元后 200 年中间。值得注意的是：代表官方收集文献的班固（32--92）在《汉书艺文志》[5] 中录下《许商算术》和《杜忠算术》这两卷数学书，而没有《周髀算经》，是否《周髀算经》成书于班固之后？

1984 年初，湖北省张家山汉墓出土竹简千余支，其中约二百支叫《算术书》，年代追溯至吕后到汉文帝年间，是最早的有关数学的出土文物，价值自然极为重要（清华大学有个重要的收藏叫做清华简，约为战国后期文物，里面记载有乘数表，内容比《算术书》更为简陋）。反过来说，前面说的《九章算术》和《周髀算经》在相当漫长的岁月中，经过很多修正，难以肯定这两本书的出版年代。《算术书》的内容不及这两本书，没有见到勾股定理这样的命题，是不是表示勾股定理的证明出现在武帝以后？事实上，张骞通西域以后，中西交流大幅增加，科技的传递在所难免。从武帝初年到三国末年，有四百多年，西域又大量移民中原，丝路也极为发达，刘徽等人的学问是否受到西方影响，应该是极有意思的问题，但是我们没有办法去考证当时数学交流的实际情形。

刘徽以后的重要中国几何学家有祖冲之（429--500）父子（《孙子算经》和秦九韶（1208--1261）等工作主要贡献不在几何）。不幸的是他们的著作，除了《割圆术》外，大部分失传了。

但是在紧跟着的隋唐时代，中国几何学没有见到重要的工作，从这个观点来看，祖冲之父子的工作不大可能有突破性的重要。

中国数学，除了魏晋南北朝这三百年的活动外，没有学者对严格证明定理和数学的基础理论有兴趣。

无论如何，我们现在看到的古代中国几何学家的工作里，没有见到他们完成几何中有系统的基础理论，中国数学家没有表达过几何学的美，他们太过注重几何的实用价值，对于几何学的了解不够深入，结果实用的能力反而减弱了。

3. 中世纪的几何

公元七世纪初，伊斯兰教在中亚成立，迅速扩散到世界各地，横跨三大洲。阿拉伯文字成为通用的官方文字。从八世纪起，巴格达成为学术中心，他们建立了科学宫、观象台、图书馆和学院。大量的希腊、印度和波斯的古典作品被译为阿拉伯文。文献被重新校订、考证和增补。阿拉伯文明因此影响世界。

花拉子米（Al-Khwārizmī，780--850）是初期最主要的数学家 [3]，在印度数字和记数法的基础上，创造了阿拉伯数码。三角学和天文学有密切关系，阿拉伯人在希腊和印度学者的基础上发展了三角学，建立了一些重要的三角恒等式。十三世纪的学者纳西尔丁（Nasir al-Din，1201--1274）更是系统而完整地论述三角学。但是阿拉伯人却没有接受希腊几何学严密的逻辑论证。

第二讲 文艺复兴到黎曼以前的几何学

文艺复兴、绘图学和射影几何

在文艺复兴时，画家们想描绘现实世界，他们很大的兴趣是如何将三维现实世界绘制到二维的画布上。他们开始研究透视学，这个学科以后引发射影几何学的复兴。

第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家是意大利人布鲁内莱斯基（F. Brunelleschi，1377--1446）。阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti， 1404--1472） 在 1435 年发表《绘画书》（De pictura）[1]，是早期透视法的代表作，激发了射影几何学的发展。

为什么透视法影响射影几何？举个例子，两条平行的铁轨，通过透视后，越远处，越是靠拢，最后在无穷远的地方相交于一点。在射影几何里，两条平行线在无穷远处相交，叫做无穷远点，无穷远点的轨迹是一条直线。射影几何要求研究在射影变换下，有什么几何性质没有改变。

画家要把一个物体画在一块画布上，就是用眼睛做投影中心。把实物的影子影射到画布上，再描绘出来。像中各个元素的大小和位置关系，有些在投影时不变，有些却是变化了。射影几何因此可以帮助画家绘画。

值得注意的是：《绘画书》希望画家学子们直接描绘大自然的美也要求他们具有广博的人文科学的知识并且运用于创作。中国在公元六世纪初期南朝梁国有位宫廷画师谢赫写了一本《古画品录》，提出“古有六法”，它代表着魏晋南北朝玄学思想与古今绘画的经验。其基础是“模写”，讲的是“传移”用逼真的临摹技术“以古为徒”。从这里，我们可以看到东西方艺术家和数学家不同的观点。

射影几何在法国数学家笛沙格（Girard Desargues，1591--1661）手上开始成熟。他在 1639 年，出版了《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》[9]。他把直线看作为具有无穷大半径的圆，切线看作是割线的极限，他有一个定理：

如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线。

这个定理可以看作射影几何的基本定理。

跟他差不多时间的作者有帕斯卡，下面会讨论。

虚数的产生

到了十六世纪，一个极为重要的观念在数学上出现，这就是虚数的诞生。意大利数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana, 1499--1557）在解三次方程时，发现虚数在他发现的公式（后世称为卡尔丹公式 [16]）中出现，他没有办法将它消除。但是他认为这是“不可捉摸而且无用的东西” 。

在 1637 年，法国数学家笛卡尔，在他的《几何学》（La Géométrie）[10] 中第一次给出“虚数”的名称。但是他指出“虚数”的本意就是它是虚假的。莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在而又不存在的两栖物” 。欧拉在很多重要的场合用了虚数，但是他说：“一切形如虚数的数学式子都是不可能有的。想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻”。

但是欧拉著名的公式：

却有着划时代的重要性，所有三角学的恒等式通过欧拉恒等式后来得容易和自然！

欧拉之后，挪威测量学家维塞尔（Caspar Wessel，1745--1818）提出 [58] 把复数 用平面上的点来表示。这样子，在一维空间的实数自然的嵌入二维空间的复平面里面。重要的是复数有着和实数域一样的自然代数运算。

复数域的完备性和在几何学的重要性

在 1629 年法国数学家吉拉（Albert Girard，1595--1632）猜测 [20] 任何一个实数做系数的多项式一定可以分解为线性和二次实数多项式的乘积。从这里可以推导出

代数基本原理：任何 次复数多项式在复平面上有 个根。

这个问题终于由高斯证明。这个定理是代数几何的开始。这个定理说明从代数的观点来说，复数是完备的。由于复数的完备性，代数流形在复数域上的相交问题才有可能成为一门优雅漂亮的学科，其中名家有贝祖（Étienne Bézout，1730--1783），施泰纳（Jakob Steiner），舒伯特（Hermann Schubert，1848--1911）。

复平面使几何增加了一倍的自由度，加上解析几何的工具，几何学更上一层楼！但是复数在几何学开花结果却是在黎曼以后的事。

复数在西方数学界的出现标志着东方科学落后于西方的一个分水岭。

4. 近代几何的开始：笛卡尔到微积分

4.1. 解析几何和笛卡尔

东西数学的另外一个分水岭是坐标的引入。法国学者笛卡尔（René Descartes，1596--1650）在 1637 年引入现代数学的重要工具：坐标系统。它将几何学和代数结合起来，为微积分奠定了基础，也让我们懂得如何描述高维空间。在物理学上，他完整地表述了惯性定律，提出了动量守恒定律，影响了牛顿在力学上的工作。这些物理学上的工作当然也影响了欧拉、高斯、拉格朗日等人，为日后黎曼在现代几何工作做好奠基。他们本身的想法却可以溯源于伽利略和开普勒，尤其是开普勒的三条定律，影响到牛顿在微积分的开创性工作。

4.2. 帕斯卡

帕斯卡（Blaise Pascal，1623--1662）在十六岁时发现帕斯卡六边形定理：内接于一个二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。十七岁时写下《圆锥曲线论》[44]，是研究笛沙格射影工作心得的论文，重新开始了古希腊阿波罗尼奥斯的工作。在 1654 年时他在无穷小分析上探讨，得出不同曲线所围成的面积和重心，在 1654 年写下《液体平衡及空气重量的论文集》[45]，并在 1658 年以积分学的原理解决了摆线问题。

4.3. 费马

费马（Pierre de Fermat，1607--1665）是个业余数学家，但是他对数学的贡献却是远远胜过大部分职业数学家 [33]！他在 1629 年用代数方法对阿波罗尼奥斯的曲线进行研究，撰写了《平面与立体轨迹引论》[15]。他指出：“两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或是曲线” 。费马建立了求切线，求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分的基础做出了重大贡献。

在古希腊时代，欧几里得已经提出了光的直线传播定律和反射定律，后由海伦（Heron of Alexandria，约 公元前 10--公元前 70）指出光线取最短路径。这个定律以后成为一个哲学观念：“大自然以最短捷的方法行动”。费马将这个哲学观念变得科学化，指出：光在介质中行动时，其路径取极小的曲线，并且用最小作用原理解释其他现象。为以后欧拉和拉格朗日的变分法打下基础。

4.4. 微分几何的产生：牛顿和莱布尼兹

微积分的发现改变了数学，尤其是几何学，几何学家终于找到一个如何描述弯曲图形的方法，同时可以用他来描述物理现象。重要的创作者当属英国科学家牛顿（Isaac Newton，1643--1727），他称之为“流数术理论” ，他的主要工作发表在《自然哲学的数学原理》[41] 中，通过微积分，牛顿从引力定律推导出天体运行的开普勒定律，微积分从此成为科学的基础学科。他的观点是从物理学出发。以后德国人莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646--1716） 从几何学观点出发 [29]，他称之为“无穷小算法” ，他引入简单的符号，计算切线，长度，面积等几何量。

莱布尼兹是一位有名的哲学家，他对于中国哲学有兴趣，尤其是《易经》。很多学者由此推断莱布尼兹的二进法是由《易经》而来，其实莱布尼兹在见到《易经》以前，已经完成了二进法的研究。

5. 微分几何的开始：欧拉到蒙日

5.1. 欧拉

微积分出现以后，很多从前没有办法处理的几何问题得到解决。第一个主要人物是欧拉（Leonhard Euler，1707--1783）。他在十二岁时就得到当时的伟大的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667--1748）的特意栽培，他和约翰的两个儿子尼古拉（Nicolaus Bernoulli，1697--1726）及丹尼尔（ Daniel Bernoulli，1700--1782）交往，受益匪浅。他在 1766 年发表的《关于曲面上曲线的研究》[13] 将微积分和古典几何相结合，为古典微分几何奠定基础。他做了很多重要的计算，也问了一个重要的问题：当一个闭曲面没有被撕开时，它不能变形。这个问题直到现在还没有解决。在凸多面体时，柯西（Cauchy）证明 [7] 这个命题是对的，到廿世纪时，科恩-弗森（Cohn-Vossen，1902--1936）证明它在一般光滑凸曲面上也成立，以后波格列洛夫（Aleksei Pogorelov，1919--2002）将光滑的假设去掉 [2]。

1897 年时，布里卡尔（Raoul Bricard，1870--1943）给予欧拉命题的反例 [6]，但是他的例子中曲面会自我相交。但是直到 1977 年，康纳利（Robert Connelly，1942--）找到第一个反例 [8]，他的反例是一个多面体。直到目前，几何学家对这个解答还是很不满意，大家都想知道欧拉猜测有没有光滑的反例。

欧拉也是变分法的始祖，他和拉格朗日发现的方程沿用至今。一个重要的变分问题是找面积最小的曲面，这是极小子流形的问题。第一个极小子流形由法国数学家梅斯尼埃（Jean Baptiste Meusnier，1754--1793）在 1776 年时找到 [34]，叫做螺旋面（helicoid），欧拉找到第二个，叫做悬链面（catenoid）[43]。波兰数学家舍克（Heinrich Scherk，1798--1885）在 1830 年发现带双周期的极小子流形 (42]，极为美观，美国艺术家柯林斯（Brent Collins）用来做雕塑模型。

欧拉也是组合数学和古典拓扑的创始人，下面提到的欧拉示性数一直是拓扑学的基本不变量。他证明：对任何一个封闭的凸多面体，假如，，，，则

假如不假定多面体为凸，则 不一定为 2。但是它有一个重要的性质，即当一个多面体连续变形到另外一个多面体时， 并不改变，这个数叫做欧拉示性数。这个欧拉示性数成为拓扑学的重要不变量，所以欧拉可以看作拓扑学的创始人。

在欧拉的名作《力学，或解析地叙述运动的理论》（1736）中可以看到他创立了分析力学、刚体力学、弹性力学、振动理论以及材料力学。至于《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》（1774）则奠定了变分学的创始人之一。变分学以后成为微分几何的重要工具。

欧拉在椭圆积分中发现的加法公式成为现代代数曲线的基础，在代数几何中有着奠基性的贡献。

5.2. 拉格朗日

紧跟着欧拉的有拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736--1813）[27]，他是法国数学家和物理学家。他继承欧拉的伟大工作，将数学分析与几何脱离开力学而自成一门学问。在其名著《分析力学》（1788）中，发展达朗贝尔（d'Alembert，1717--1783）、欧拉等人的结果，引入了势和等势面的概念，把数学分析应用于质点和刚体力学，他又引进广义坐标概念，建立了拉格朗日方程。在力学体系中，以能量为基本概念，奠定了分析力学的基础。这些观念影响了近代辛几何的发展。欧拉和拉格朗日应用变分法去处理等周不等式。

他又提出在三维空间中的自我不相交的闭曲线什么时候可以看成为一个极小子流形（平均曲率等于零）的边界。在这个子流形可以写成函数的图的時候，他推导出这个子流形的欧拉--拉格朗日（Euler--Lagrange）方程，到了 1849 年，普拉托（J. Plateau，1801--1883）做了很多肥皂实验，认为这些子流形可以看作肥皂薄膜。所以这个问题以后，几何学家叫它普拉托问题。普拉托问题在不同的几何场合出现，它们在几何学上有很重要的应用。

5.3. 拉普拉斯

拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749--1827）是法国数学分析学家。在 1784--1785 年间，他求得天体对其他任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。这个方程以后推广到黎曼流形上，不单只应用到函数上，也应用到微分形式（differential form）上，对于近代微分几何有着深入的影响。

5.4. 哈密尔顿

爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton，1805--1865）在 1843 年发表了一篇重要的论文《一种动力学的普遍方法》，从光学研究中抽象出来的数学思维，成为动力学发展过程中的里程碑。

他更出名的工作是引入四元数 [21]，他要求三个变量 ，， 满足下面四个方程：

在这个过程中，他放弃了交换律。他引入的四元数以后影响了狄拉克算子的出现。

在二十世纪初期，物理学家狄拉克（Paul Dirac，1902--1984），对于哈密尔顿的四元数相当着迷。在研究量子力学关键的时刻，还记挂着四元数，但是图书馆关门了，自行构造出狄拉克算子。狄拉克算子却成为近代几何学一个极为重要的工具！

5.5. 蒙日

蒙日（Gaspard Monge，1746--1818）是法国数学家，在 1768 年，他写下《画法几何学》这本书 [39]，系统地解决了机械制图和图解方法的问题。他建议用二个正交投影面来绘制立体。成效不错。在 1525 年文艺复兴时，德国人迪勒（Albrecht Dürer，1471--1528）也曾用过类似的方法，但是不如蒙日系统化的做法。蒙日带了很多学生用综合法研究几何。拉格朗日很欣赏把分析学应用到几何学的手法，认为蒙日的贡献可以说是不朽的。

近年来几何学流行的最优传输（optimal transport）[56] 的想法其实是由蒙日 [38] 率先提出的：当给定两个不同的概率分布时，可以通过很多方式将一个分布输送到另一个分布，基于局部花费的计算，希望找到总体花费最少的传输方案。在上世纪四十年代苏联数学家康托洛维奇（Leonid Kantorovich，1912--1986）给予一个实际的计算方案 [24]，用到蒙日--安培 （Monge--Ampère）方程。近代人工智能的研究里，用了最优传输的观念。这个观念出现在很多应用数学的工作里面。

6. 内蕴几何和共形几何：高斯、刘维尔和柯西

6.1. 高斯

高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777--1855）是个伟大的几何学家。他对于曲面几何有极为深入的认识，他发现曲面的第二形式的行列式只跟曲面的第一形式有关，这个行列式以后被命名为高斯曲率 [19]。这个发现可以说是划时代的，它引起了内蕴几何的产生，以后成为黎曼几何的基础。他证明的高斯--博内（Gauss--Bonnet）公式成为几何中最重要的公式，它将宏观的欧拉示性数联系上了曲面上局部定义的曲率概念。他和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792--1856），及其他数学家陶里努斯（Franz Taurinus，1794--1874），波尔约（János Bolyai，1802--1860）独立地发现了双曲几何。

6.2. 刘维尔

法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809--1882）在 1850 年证明了欧氏空间在维数超过三时 [32]，所有共形映射（conformal map），即使是局部定义的，也可以写成平移、相似、正交和逆变换的组合。这个定理成为高维共形几何的基础，从这里知道二维和三维空间共形结构不同的地方！拟共形映射在二维空间很重要，尤其是在 泰希米勒（Techimüller）空间上的应用，但是三维空间上的拟共形映射有不同的用途。在二十世纪七十年代初期莫斯托（George Mostow，1923--2017）用来证明三维以上的双曲空间是刚性的 [40]，而莫斯托这个定理直接引出瑟斯顿（William Paul Thurston，1946--2012）著名的三维流形“几何化”的伟大工作 [54]。

刘维尔也写下了在共形变换下度量（metric）的曲率是如何变化的共形方程，引起了以后著名的山边（Yamabe）问题 [51,59]。

在 1851 年，他研究了经典动力系统中的相空间，即描述粒子位置和动能的偶对 所组成的空间。假如这个系统跟着经典力学移动，就是在时间 开始到时间 ， 移动到 。他给予相空间一个测度 ， 他证明测度 在这个移动中保持不变。这些定理对现代几何观念的突破有重大影响！

6.3. 柯西

法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy，1789--1857），受拉格朗日和拉普拉斯的影响，建立了严格的分析体系。他创立了积分几何，得到一个重要的公式：平面凸曲线的长度可以用它在平面直线上一些正交投影表示。他最重要的工作是创立单复变函数，用线积分研究不同的问题，包括级数与无穷乘积的展开。他的工作对黎曼有极大的影响。他也证明了凸多面体是刚性的。

7. 射影几何、计数几何和变换群：彭赛列、施陶特、索菲斯·李

7.1. 彭赛列和射影几何

在 1822 年，蒙日的学生彭赛列（Jean-victor Poncelet，1788--1867）跟随拿破仑侵略俄罗斯，被俘后在狱中沉思，于同一年发表了射影几何学的第一部系统著作《图形的投影性质》（1822）[49]。该著作研究图形经过投影变形和连续变形后的不变性质，又通过几何的方法引进了无穷远虚圆点，用配极对应来确立对偶原理。由于这些早期的射影几何基础不够严谨，受到柯西严厉的批评。但是并不影响学者们继续这些研究，发展出计数几何，名家有 舒伯特（Hermann Schubert，1848--1911）。他结合了沙勒（Michel Chasles，1793--1880）的对应原理（corresponding principle）和彭赛列的连续性原理（principle of continuity）成为他自创的数不变原理（the principle of conservation of number），可以计算很多重要的代数几何的不变量。

他的一个重要的工作可以叙述如下：

在一个五度三维复空间中，在适当的定义下，它一定存在着 2875 条直线在它里面。

这样的问题是计数几何常见的重要问题。希尔伯特（David Hilbert，1862--1943）在他有名的巴黎 ICM 演讲中，提出二十三个划时代的大问题，其中第十五题就是将 Schubert 的结果严格化。到了今天，这样的问题和近代物理学有密切的关系。

在彭赛列用综合的方法研究射影几何的同时，德国数学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790--1868）于1827 年发表了《重心计算》[37] 这本书，引进了齐次坐标，后被普吕克（Julius Plücker，1801--1868）推广 [47]，为投影几何引进了代数方法，却遭到以彭赛列为首的综合派学者反对，支持彭赛列的还有施泰纳和施陶特（Karl von Staudt，1798--1867）。施陶特在 1847 年发表了《位置几何学》，不借助长度而给交比（cross ratio）重新定义，这个基本工具使射影几何离开欧氏几何，这个工作鼓舞了英国数学家凯莱（Arthur Cayley，1821--1895），西尔维斯特（J.J. Sylvester，1814--1897）和德国数学家普吕克 [48]。

凯莱和西尔维斯特奠定了代数不变量的理论，以后在希尔伯特和大卫·芒福德（David Mumford，1937--）手里成为代数几何的重要工具 [36]。普吕克引入了普吕克坐标系统（Plücker coordinate）可以用来表达一个重要代数流形嵌入射影空间的位置。这个流形由在固定的 维空间里面所有 维空间所组成。普吕克又找到定义这个流形的方程式， 它由一组方程定义，现在叫这些方程为普吕克关系（Plücker relation）。

射影几何的发展和“群”的关系极为密切，一方面很多重要的射影空间里面的几何性质可以用群来定义。反过来说，在不同的有限域上定义的射影空间可以用来构造有意义的有限群。

7.2. 索菲斯·李和变换群

索菲斯·李（Sophus Lie, 1842--1899）是挪威数学家，他的主要工作是连续变换群。李群和李代数从廿世纪至今，一直都是数学和物理中重要的工具。他的博士论文研究几何里面的切触变换（contact transformations）理论。他和恩格尔（Friedrich Engel，1861--1941）有长期的合作。他的 3 卷《Theory of Transformation Groups》（1888--1893）是数学上的经典著作 [30]。

7.3. 评述

二千六百年以来，人类对大自然愈来愈了解，几何学的目标和方法也因此不断地改变：它的内容比从前丰富了，也成为研究大自然的一个重要工具。种种不同的观点和方法让几何学产生了很多不同的分支，但是这些分支交叉互动后，往往得到更辉煌的结果。

复数的引入和复函数的发展彻底地改变了数学的内容，使得数学更为丰富，也更难捉摸！一方面它变成了几何一个重要的工具，一方面它帮助几何学家建立黎曼曲面和复流形这种新的结构，对于一些古老的问题得到更深入的了解，近代物理学家引入的超对称和复数结构也是息息相关。我们需要注意，当年欧洲学者虽然开始时对于复数的观念觉得迷惘，但是又很兴奋。因为它的结构很美丽，它使得数域完备了，多项式都有根了，而且刚好和它的次数一样，这个完备性使得代数子流形的相交理论完美，拓扑方法从此可以大幅的用到代数几何！这是以数学的美感来推动数学发展的一个重要例子，我的感觉是中国数学家不大愿意接受这个看法。

复数出现在文艺复兴时代，它得到数学家接受，不是偶然的。文艺复兴时期，思想开放，比较容易接受新的想法。这个时候，绘画也要走出一个不同的方向，如何用两维的画布来表达三维空间的图像成为一个重要的问题，画家们发展的“透视图法”刺激了射影几何的发展。

射影几何和解析几何是微积分出现以前几何学中最重要的分支。射影几何将欧氏几何中长度的观点抛弃，保持直线相交和投影的观念。最后发展要用到代数不变量、拓扑学等理论，影响深远。

解析几何引人坐标系统后，将几何和代数融合在一起，将古代的几何带入一个新纪元，用代数方程可以写出很复杂的图形，是从前无法做到的。没有坐标，没有办法有深度地描述任何一个几何图形，微积分也无从开始！

至于微积分，确是人类历史上最值得骄傲的伟大发明之一。在牛顿和莱布尼兹以前，已经出现它的零碎的影子。古希腊的数学家知道得不少，而十四世纪的印度喀拉拉邦学派（Kerala School）就懂得相当多的函数的级数展开，但是都还没有达到牛顿的水平，不足以宣称说：在牛顿以前，微积分已经完成。而事实上，牛顿的伟大贡献，不单单是建立了微积分的基础。牛顿力学在理论和应用上，都离不开微积分：最伟大的工作是从引力基本定律推导出开普勒的行星运行的三大定律。这些应用彻底地说服了学者微积分的威力。

微积分对于几何的影响是巨大的，从此以后，我们懂得如何对付弯曲的几何图形，懂得求它们的切线，求它们的曲率，也开始知道用变分方法在弯曲的空间上求极端的几何量，包括计算测地线和极小子流形等问题。这些问题在欧拉、拉格朗日、哈密尔顿等人手上得到丰富的结果。和牛顿力学相辅相成，相得益彰！

高斯对高斯曲率的重要结果是一个新的里程碑：内蕴几何的观念从此而生，几何图形可以独立存在，不再需要一个固定的坐标系统来量度曲率，双曲空间也是在这段时间由不同学者同时发现。这些研究影响了黎曼伟大的工作！

射影几何和代数比较接近，另辟蹊径，成为近代代数几何的先驱，到二十世纪通过 凯勒（Erich Kähler，1906--2000）的工作与微分几何融合在一起 [23]。

文艺复兴以后，尤其是十六、十七、十八及十九世纪，数学的主要发展全部发生在西欧国家。十五世纪中叶刚好是郑和下西洋以后，中国明清海禁开始。直到二十世纪以前，中国数学再无可观的成绩，学者沉醉在宋元以前的古老传统，无意于创新。讲理论被评为“蔽于天而不知人”，做精细的应用科学则被评为“奇技淫巧”。

十五世纪的文艺复兴画家阿尔贝蒂的《绘画书》中解释透视法时，强调必须以自然为师，直接观察大自然，要将它的美表现在画布上。至于中国画家则以模拟名家为画法第一步，过分的推崇名家以后，就没有办法看清楚天道之美。海禁以后，没有受到外界思想的冲击，自我感觉很好，以天朝自居，没有想到祖宗留下来的思想未足够抗衡文艺复兴后西方思想的大跃进。以下分几点来讨论。

1. 中国政府对数学的重视程度远远逊于西方，儒家六艺中的乐和算只不过服务于社会，调养性情而成立，对于古代中国官方，它们没有内蕴的存在价值。其实在曹丕写《典论·论文》说“文章，乃经国之大业，不朽之盛事”以前，写作名家如韩非子、司马迁、曹植都说写作不过是雕虫小技，不如在朝庭做官来得重要。

西方学者就不一样，欧拉能够成为古往今来最伟大最多产的科学家，和他受到皇家尊重供养有关。这几个世纪里面，除了很少数几位数学家以外，欧洲的学者都是丰衣足食，有足够的时间来做一流的工作。欧洲的科学院都是经过极为严格的评审，由第一流的学者参与，受到政府重视！廿五年前，我记得我去参观英国剑桥大学三一学院的一个小型建筑，里面树立着好几十名剑桥大学伟大学者的雕像，牛顿、麦克斯韦、狄拉克等都在其中。对于我来说，这是极为震撼的事情，我们国家科学几千年累积的科学结果竟然不如一个学院四百年的成就，情何以堪！

最近科技部搞了十三个国家应用数学中心，但是没有听到过要成立一个国家层面的基础数学中心。政府官员大概是认为不加“应用”两个字，对不起老百姓？

2. 中国数学家在没有深入了解数学的内容以前，不晓得如何欣赏数学，尤其是如何寻找基础数学的美好地方。复数在东亚发展不起来，在西欧，却成功的成为一门深入的学问，和欣赏数学美有直接关系。毕竟有了复数， 次多项式都会存在 个根，这不是很漂亮的事情吗？所以欧拉一方面对复数觉得迷惘，一方面还是去发展它！东方的数学家好像不愿意做这些虚功！

3. 西方数学家都讲究哲学思想，笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、欧拉、高斯等人都有他们的哲学观点，他们的学问因此有自己的特色，也因此影响深远。在中国，清朝大兴文字狱，思想不自由，读书人花大量时间去考证古代典籍，创意的想法不足，难与西方竞争。

4. 这几个世纪的数学家往往也是物理学家或者是工程学者，他们精通两门不同的学问，有辽阔的眼界，多项不同领域的工具。在两门不相同的学科撞在一起，会产生火花。往往会产生一门新的学科。而明清两朝，中国士人读书以科举入仕为目标，而八股文则为科举取士方法，中国士人精通一门科学已经不易，更何况两科？

5. 中国自古以来，讲究孝道。这个思想，固然维系了中华民族的大统一，但是也使得我们保守，守护祖宗留下的方法。“三年无改父之业，可谓孝矣”中国士人，扬名声，显父母，主要途径是做官。官阶愈高，名声愈显。至于“明天人之际，究天地之造化”太过迂腐，亲戚乡里，不懂得欣赏，所以不在他们考虑之列。

6. 中国学者对学问的兴趣不够浓厚，志愿也不大，很多好的学生的毕业志愿只不过希望丰衣足食，由政府给个奖项（帽子），至于院士的头衔更是不敢奢望了。中国学者最伟大的志向顶多是得到诺贝尔奖，但是最后得到诺贝尔奖的屠呦呦，却因为人事问题没有搞好，连院士都做不了。■

致谢

感谢伍鸿熙教授，李逸和邓宇善的帮忙。

参考文献

和这个演讲有关的一些文章，参考如下：

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[60] 佚名: 周髀算经, 上海古籍出版社, (2012).

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